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        1. 對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足下列條件:①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫閉函數(shù).
          (1)求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a,b];
          (2)判斷函數(shù)f(x)=
          3
          4
          x+
          1
          x
          (x>0)是否為閉函數(shù)?并說明理由.
          分析:(1)可設(shè)區(qū)間[a,b]滿足條件,則[f(b),f(a)]與它相同,從而求得a、b的值;
          (2)x>0時(shí),f(x)有最小值,不是定義域上的增函數(shù)或減函數(shù),從而知f(x)不是閉函數(shù).
          解答:解:(1)由題意,函數(shù)y=-x3是R上的減函數(shù),若滿足x∈[a,b]⊆R,且f(x)的值域?yàn)閇a,b];則f(a)=-a3,f(b)=-b3
          b=-a3
          a=-b3
          ,且b>a;解得
          a=-1
          b=1

          所以,所求的區(qū)間為[-1,1].
          (2)∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)=
          3
          4
          x+
          1
          x
          ≥2
          3
          4
          x•
          1
          x
          =
          3
          ,當(dāng)且僅當(dāng)
          3
          4
          x=
          1
          x
          ,即x=
          2
          3
          時(shí)“=”成立,
          ∴f(x)不是(0,+∞)上的增函數(shù)或減函數(shù);
          所以,函數(shù)f(x)不是(0,+∞)上的閉函數(shù).
          點(diǎn)評:本題考查了新定義下的數(shù)學(xué)問題,利用題目中的定義來解答數(shù)學(xué)問題,有一定的挑戰(zhàn)性.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]⊆D,同時(shí)滿足:
          ①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
          ②當(dāng)定義域是[m,n]時(shí),f(x)的值域也是[m,n].則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
          (1)求證:函數(shù)y=g(x)=3-
          5
          x
          不存在“和諧區(qū)間”.
          (2)已知:函數(shù)y=
          (a2+a)x-1
          a2x
          (a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當(dāng)a變化時(shí),求出n-m的最大值.
          (3)易知,函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m,n]為它的“和諧區(qū)間”.試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù),并寫出它的一個(gè)“和諧區(qū)間”.(不需證明,但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
          bx+c
          ax
          的函數(shù)為例)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          對于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),若存在區(qū)間M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的“等值區(qū)間”.給出下列三個(gè)函數(shù):
          f(x)=(
          12
          )x
          ;   ②f(x)=x3;    ③f(x)=log2x+1
          則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是
          2
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•崇明縣一模)定義:對于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),如果存在t∈D,使得f(t+1)=f(t)+f(1)成立,稱函數(shù)f(x)在D上是“T”函數(shù).已知下列函數(shù):
          ①f(x)=
          1x
          ; 
          ②f(x)=log2(x2+2);
          ③f(x)=2x(x∈(0,+∞)); 
          ④f(x)=cosπx(x∈[0,1]),其中屬于“T”函數(shù)的序號是
          .(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          對于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),若同時(shí)滿足下列條件:①f(x)在D內(nèi)有單調(diào)性;②存在區(qū)間[a,b]⊆D,使f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域也為[a,b],則稱f(x)為D上的“和諧”函數(shù),[a,b]為函數(shù)f(x)的“和諧”區(qū)間.
          (Ⅰ)求“和諧”函數(shù)y=x3符合條件的“和諧”區(qū)間;
          (Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)=x+
          4
          x
          (x>0)
          是否為“和諧”函數(shù)?并說明理由.
          (Ⅲ)若函數(shù)g(x)=
          x+4
          +m
          是“和諧”函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案