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        1. 如下圖,球O的截面BCD把垂直于該截面的直徑分成1∶3兩部分,BC是截面圓的直徑,D是圓周上一點(diǎn),CA是球O的直徑.

          (1)求證:平面ABD⊥平面ADC;

          (2)如果球半徑為,D分弧BC為兩部分,且弧BD∶弧DC=1∶2,求AC與BD所成的角以及AC與BD的距離.

          (1)證明:∵CA是球O的直徑,D為球面上一點(diǎn),

          ∴△ADC在此球的大圓上,

          ∴CD⊥AD.

          又BC是截面圓的直徑,

          ∴CD⊥BD.

          又AD∩BD=D,

          ∴CD⊥平面ABD.

          又∵CD平面ACD,

          ∴平面ABD⊥平面ADC.

          (2)解析:設(shè)OO1=d,過C作CG∥BD交⊙O1于G,連結(jié)BG,則BG∥CD,

          ∴∠ACG即為AC與BD所成的角,

          由已知條件,可得d=R,

          ∴AB=2d=R,BC=2R×=R.

          又D分弧BC為1∶2,

          ∴∠BCD=30°,

          ∴∠BO1D=60°,

          ∴BD=BC·sin30°=R,

          DC=BC·cos30°=R.

          在Rt△ACG中,

          cosACG=,

          ∴∠ACG=arccos,

          即AC與BD所成角為arccos

          過B作BH⊥AG于H,

          ∵BD∥平面ACG,平面BAG⊥平面ACG,

          ∴BH為AC與BD的距離.

          ∴BH=.

          ∵R=,

          ∴BH=3.

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