Question

（2005•上海模擬）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分8分，第2小題滿(mǎn)分6分
過(guò)直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y²?2px （p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為

π

4

的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）用p表示A、B之間的距離并寫(xiě)出以AB為直徑的圓C方程；
（2）若圓C于y軸交于M、N兩點(diǎn)，寫(xiě)出M、N的坐標(biāo)，證明∠MFN的大小是與p無(wú)關(guān)的定值，并求出這個(gè)值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的拋物線的方程寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又有所給的直線的傾斜角得到這條直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程，要求兩點(diǎn)之間的距離，首先要把直線與拋物線方程聯(lián)立，整理出關(guān)于x的方程，根據(jù)根和系數(shù)之間的關(guān)系，和拋物線的定義，寫(xiě)出結(jié)果．
（2）由（1）得：圓C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，令x=0得到圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用到角公式求出∠MFN的正切值tan∠MFN，它是一與p無(wú)關(guān)的定值，并求出這個(gè)值即可．

解答：解：（1）焦點(diǎn)F（

p

2

，0），過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為

π

4

的直線方程是 y=x-

p

2

由

y2=2px y=x- p 2

⇒x2-3px+

p2

4

=0⇒xA+xB=3p，xAxB=

p2

4

⇒|AB|=x_A+x_B+p=4p，
AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為C（

3p

2

，p），以AB為直徑的圓C的半徑為：2p，
∴以AB為直徑的圓C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，
（2）由（1）得：圓C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，
令x=0得：（0-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，⇒y_M=

7 +1

2

p，y_N=

- 7 +1

2

p，
∴tan∠MFN=

tan∠MFO+tan∠OFN

1-tan∠MFO•tan∠OFN

=

7 +1 2 p p 2 +  7 -1 2 p p 2

1- 7 -1 2 p p 2 • 7 +1 2 p p 2

=-

7

5

（定值）．
∴∠MFN=π-arctan

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，實(shí)際上這種問(wèn)題在解題時(shí)考慮的解題方法類(lèi)似，都需要通過(guò)方程聯(lián)立來(lái)解決問(wèn)題，注意本題中拋物線還有本身的特點(diǎn)，注意使用，屬中檔題．