Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos²x．
（1）求f（x）的最大值以及使f（x）取得最大值的x的集合；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)f（x）利用兩角差的正弦函數(shù)公式、特殊角的三角函數(shù)值及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的角度等于2kπ+

π

2

時，正弦函數(shù)最大值為1得到f（x）的最大值，并求出此時x的范圍即可得到x的集合；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間為（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

）列出關(guān)于x的不等式，即可求出x的范圍．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+1=sin(2x+

π

6

)+1．
∴f（x）的最大值為2．
又由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，可得x=kπ+

π

6

，
故使f（x）取得最大值時x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

點評：此題考查學生靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式、兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，是一道中檔題．