Question

【題目】設(shè)A（n）表示正整數(shù)n的個位數(shù)，an=A（n2）﹣A（n），A為數(shù)列{an}的前202項(xiàng)和，函數(shù)f（x）=ex﹣e+1，若函數(shù)g（x）滿足f[g（x）﹣ ]=1，且bn=g（n）（n∈N*），則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為 ．

Answer 1

【答案】n+3﹣（2n+3）?（ ）n
【解析】解：n的個位數(shù)為1時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=0，

n的個位數(shù)為2時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣2=2，

n的個位數(shù)為3時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣3=6，

n的個位數(shù)為4時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣4=2，

n的個位數(shù)為5時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=5﹣5=0，

n的個位數(shù)為6時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣6=0，

n的個位數(shù)為7時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣7=2，

n的個位數(shù)為8時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣8=﹣4，

n的個位數(shù)為9時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=1﹣9=﹣8，

n的個位數(shù)為0時(shí)有：an=A（n2）﹣A（n）=0﹣0=0，

每10個一循環(huán)，這10個數(shù)的和為：0，

202÷10=20余2，余下兩個數(shù)為：a201=0，a202=2，

∴數(shù)列{an}的前202項(xiàng)和等于：a201+a202=0+2=2，

即有A=2．

函數(shù)函數(shù)f（x）=ex﹣e+1為R上的增函數(shù)，且f（1）=1，

f[g（x）﹣ ]=1=f（1），

可得g（x）=1+ =1+ ，

則g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，

即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，

則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n+[1（ ）1+3（ ）2+5（ ）3++（2n﹣1）（ ）n]，

可令S=1（ ）1+3（ ）2+5（ ）3++（2n﹣1）（ ）n，

S=1（ ）2+3（ ）3+5（ ）4++（2n﹣1）（ ）n+1，

兩式相減可得 S= +2[（ ）2+（ ）3+（ ）4++（ ）n]﹣（2n﹣1）（ ）n+1

= +2 ﹣（2n﹣1）（ ）n+1，

化簡可得S=3﹣（2n+3）（ ）n，

則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n+3﹣（2n+3）（ ）n．

故答案為：n+3﹣（2n+3）（ ）n．

先根據(jù)n的個位數(shù)的不同取值推導(dǎo)數(shù)列的周期，由周期可求得A=2，再由函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，求得g（x）的解析式，即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，再由數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，化簡整理即可得到所求和．