Question

已知圓P：（x-m）²+（y-n）²=4與y軸交于A、B兩點(diǎn)，且|

PA

+

PB

|=

10

，則|AB|=

6

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)PE，由向量加法法則得向量

PE

=

1

2

(

PA

+

PB

)，結(jié)合題意算出|

PE

|=

10

2

，即P到AB的距離等于

10

2

．然后在Rt△PAE中利用勾股定理算出AE長，即可得到|AB|的值．

解答：解：設(shè)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)PE，則
∵PE是△PAB的中線，
∴向量

PE

=

1

2

(

PA

+

PB

)
又∵|

PA

+

PB

|=

10

，∴|

PE

|=

10

2

∵⊙P中，E是弦AB的中點(diǎn)
∴PE⊥AB，可得|AE|=

|AP| 2- |PE| 2

 =

4-( 10 2 )2

=

6

2

因此，|AB|=2|AE|=

6

點(diǎn)評(píng)：本題給出半徑為2的圓P被y軸截得弦AB，在已知向量

PA

+

PB

長度的情況下求AB的長．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的加法法則和垂徑定理等知識(shí)，屬于中檔題．