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          如圖,在以點為圓心,為直徑的半圓中,,是半圓弧上一點,,曲線是滿足為定值的動點的軌跡,且曲線過點.

          (Ⅰ)建立適當的平面直角坐標系,求曲線的方程;
          (Ⅱ)設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、
          若△的面積不小于,求直線斜率的取值范圍.
          (Ⅰ)(Ⅱ) [-,-1]∪(-1, 1)∪(1,).
          (I)先建系,然后根據為定值,可確定點M的軌跡是雙曲線,
          然后按照求雙曲線標準方程的方法求解即可.
          (II) 先設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.
          根據條件可知 ,從而得到k的取值范圍.
          再利用弦長公式和韋達定理用k表示出|EF|,再利用點到直線的距離公式求出原點O到直線l的距離,從而表示出三角形的面積,這樣三角形的面積就表示成了關于k的函數,
          再根據,得到關于k的不等式,從而解出k的取值范圍,再與前面k的取值范圍求交集即可.
          (Ⅰ)解法1:以O為原點,AB、OD所在直線分別為x軸、y軸,建立平面直角坐標系,則A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依題意得
          |MA|-|MB|=|PA|-|PB|=<|AB|=4.
          ∴曲線C是以原點為中心,A、B為焦點的雙曲線.
          設實平軸長為a,虛半軸長為b,半焦距為c,
          則c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲線C的方程為.
          解法2:同解法1建立平面直角坐標系,則依題意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|<
          |AB|=4.
          ∴曲線C是以原點為中心,A、B為焦點的雙曲線.
          設雙曲線的方程為>0,b>0).
          則由解得a2=b2=2,∴曲線C的方程為

          (Ⅱ)解法1:依題意,可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.
          ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
            
          ∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
          設E(x,y),F(x2,y2),則由①式得x1+x2=,于是
          |EF|=

          而原點O到直線l的距離d=,
          ∴S△DEF=
          若△OEF面積不小于2,即S△OEF,則有
                 ③
          綜合②、③知,直線l的斜率的取值范圍為[-,-1]∪(1-,1) ∪(1, ).
          解法2:依題意,可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,
          得(1-k2)x2-4kx-6=0.
          ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
            
          ∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
          設E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得
          |x1-x2|=          ③
          當E、F在同一去上時(如圖1所示),
          S△OEF
          當E、F在不同支上時(如圖2所示).
          S△ODE=
          綜上得S△OEF于是
          由|OD|=2及③式,得S△OEF=
          若△OEF面積不小于2
              、
          綜合②、④知,直線l的斜率的取值范圍為[-,-1]∪(-1, 1)∪(1,).
          練習冊系列答案
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