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        1. 已知直線y=-x+1與橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為AB的中點(diǎn).
          (I)求證:直線AB與OM斜率的乘積等于e2-1(e為橢圓的離心率);
          (II)若2|
          OM
          |=|
          AB
          |且e∈(0,
          2
          2
          )
          時(shí),求a的取值范圍.
          分析:(I)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(
          x1+x2
          2
          ,
          y1+y2
          2
          ),由A、B在橢圓b2x2+a2y2=a2b2上,得
          b2x12+a2y12=a2b2
          b2x22+a2y22=a2b2
          ,兩式相減,得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0,由此能夠證明直線AB與OM斜率的乘積等于e2-1.
          (Ⅱ)連接OA,OB,當(dāng)2|
          OM
          |=|
          AB
          |
          時(shí),得
          OA
          OB
          ,故x1x2+y1y2=0,由
          y=-x+1
          b2x 2+a2y2=a2b2 
          ,得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,由相交,得△=(-2a22-4a2(1-b2)(a2+b2)>0,再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠求出a的取值范圍.
          解答:(I)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(
          x1+x2
          2
          ,
          y1+y2
          2
          ),
          ∵A、B在橢圓b2x2+a2y2=a2b2上,
          故有
          b2x12+a2y12=a2b2
          b2x22+a2y22=a2b2
          ,
          兩式相減,得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0
          kABkOM=
          y1-y2
          x1-x2
          y1+y2
          2
          x1+x2
          2

          =-
          b2
          a2
          =-
          a2-c2
          a2
          =e2-1.
          (Ⅱ)解:連接OA,OB,當(dāng)2|
          OM
          |=|
          AB
          |
          時(shí),得
          OA
          OB

          ∴(x1,y1)•(x2,y2)=0,
          即x1x2+y1y2=0,
          y=-x+1
          b2x 2+a2y2=a2b2 
          ,
          得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,
          由相交,應(yīng)有△=(-2a22-4a2(1-b2)(a2+b2)>0,
          化簡(jiǎn)為a2+b2>1,
          由韋達(dá)定理:x1+x2=
          2a2
          a2+b2
          ,x1x2=
          a2(1-b2)
          a2+b2

          ∴y1y2=(1-x1)(1-x2
          =1-(x1+x2)+x1x2
          =1-
          2a2
          a2+b2
          +
          a2-a2b2
          a2+b2

          =
          b2(1-a2)
          a2+b2
          ,
          ∴a2-2a2b2+b2=0,
          ∵b2=a2-c2=a2-a2e2,代入上式,有
          a2-2a2(a2-a2e2)+a2-a2e2=0,
          a2=
          1
          2
          (1+
          1
          1-e2
          )
          ,
          0<e<
          2
          2
          ,∴1<a2
          3
          2
          ,適合條件a2+b2>1,
          由此,得1<a<
          6
          2
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用,具體涉及到橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、點(diǎn)差法的應(yīng)用、根的判別式和韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線y=-x+1與橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn).
          (1)若橢圓的離心率為
          3
          3
          ,焦距為2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (2)若OA⊥OB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離率e∈[
          1
          2
          ,
          2
          2
          ]
          時(shí),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線y=x-1與雙曲線交于兩點(diǎn)M,N 線段MN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-
          2
          3
          雙曲線焦點(diǎn)c為
          7
          ,則雙曲線方程為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線y=-x+1與橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn).
          (1)若橢圓的離心率為
          3
          3
          ,焦距為2,求橢圓方程;
          (2)在(1)的條件下,求線段AB的長(zhǎng);
          (3)若橢圓的離心率e∈(
          2
          2
          ,1)
          ,向量
          OA
          與向量
          OB
          互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求橢圓的長(zhǎng)軸的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線y-x=1與曲線y=ex(其中e為自然數(shù)2.71828…)相切于點(diǎn)p,則點(diǎn)p的點(diǎn)坐標(biāo)為
          (0,1)
          (0,1)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線y=-x+1與橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          相交于A、B兩點(diǎn).
          (1)若橢圓的離心率為
          3
          3
          ,焦距為2,求線段AB的長(zhǎng);
          (2)(文科做)若線段OA與線段OB互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求
          1
          a2
          +
          1
          b2
          的值;
          (3)(理科做)若線段OA與線段OB互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率e∈[
          1
          2
          2
          2
          ]
          時(shí),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.

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