Question

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為

3

5

，焦點坐標(biāo)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求以橢圓C長軸的端點為焦點，離心率e=

3

2

的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，利用條件尋找?guī)缀瘟恐�間的關(guān)系，從而可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C長軸的端點坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），進(jìn)而可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，利用e=

3

2

，即可確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
∵

a

b

=

3

5

，c=2，a²=b²+c²
∴a²=9，b²=5…（4分）
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C長軸的端點坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0）．
∴雙曲線的焦點坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），∴c′=3…（7分）
又∵e=

3

2

，則得a′=2…（8分）
由c′²=a′²+b′²得 b′²=5…（10分）
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

5

=1…（12分）

點評：本題重點考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，熟練運用幾何量之間的關(guān)系是關(guān)鍵．