【題目】數(shù)列
滿足： 
， 
， 
(Ⅰ)判斷
與
的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(Ⅱ)求證： 
.
【答案】（1）當(dāng)n為奇數(shù)時， 
，即
<
；當(dāng)n為偶數(shù)時， 
， 
>
；（2）見解析.
【解析】試題分析：(Ⅰ) 分當(dāng)
為奇數(shù)時和當(dāng)n為偶數(shù)時兩種情況，將
與2作差，變形即可判斷
與
的大小關(guān)系；
(Ⅱ) 要證
，
只需證
，驗(yàn)證可知當(dāng)
時，當(dāng)
時不等式成立，
當(dāng)
為偶數(shù)且
時，
要證
，只需證
，即證
，
令
，則
單調(diào)遞減，即可證明；
當(dāng)
為奇數(shù)且
時，要證
，只需證
，
只需證
，即證
，令
，討論單調(diào)性即可證明.
試題解析：Ⅰ) 當(dāng)n為奇數(shù)時， 
<
；當(dāng)n為偶數(shù)時， 
>
. 證明如下：
，
兩邊同取倒數(shù)得：
，
，
所以數(shù)列
是以
為首項(xiàng)， 
為公比的等比數(shù)列， 
， 
，所以當(dāng)n為奇數(shù)時，
，即
<
；當(dāng)n為偶數(shù)時， 
， 
>
.
(Ⅱ)證明：因?yàn)?/span>
，
要證
，
只需證
，
當(dāng)
時， 
成立，當(dāng)
時， 
成立，
當(dāng)
為偶數(shù)且
時，
要證
，
只需證
，即證
，
令
，則
單調(diào)遞減， 
，
當(dāng)
為奇數(shù)且
時，
要證
，
只需證
，
只需證
，
即證
，令
，
則
單調(diào)遞減， 
，
所以
成立，
所以
成立.
小學(xué)奪冠AB卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知實(shí)數(shù)
及函數(shù)
（1）若
，求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)集合
，使
在
上恒成立的
的取值范圍記作集合
，求證： 
是
的真子集.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，平面
平面
， 
， 
．
（1）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）若動點(diǎn)
在底面
邊界及內(nèi)部，二面角
的余弦值為
，求
的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標(biāo)系
中，圓
的圓心為
.已知點(diǎn)
，且
為圓
上的動點(diǎn)，線段
的中垂線交
于點(diǎn)
.
（Ⅰ）求點(diǎn)
的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)
的軌跡為曲線
，拋物線
： 
的焦點(diǎn)為
.
， 
是過點(diǎn)
互相垂直的兩條直線，直線
與曲線
交于
， 
兩點(diǎn)，直線
與曲線
交于
， 
兩點(diǎn)，求四邊形
面積的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若直線
為曲線
的一條切線，求實(shí)數(shù)
的值；
（2）若函數(shù)
在區(qū)間
上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（3）設(shè)
，若
在定義域上有極值點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值），求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四棱錐
， 
平面
，底面
中， 
， 
，且
， 
為
的中點(diǎn)．
（1）求證：平面
平面
；
（2）問在棱
上是否存在點(diǎn)
，使
平面
，若存在，請求出二面角
的余弦值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，左、右焦點(diǎn)分別為
，且
與拋物線
的焦點(diǎn)重合.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過
的直線交橢圓于
兩點(diǎn)，過
的直線交橢圓于
兩點(diǎn)，且
，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程是
(
為參數(shù))，以原點(diǎn)
為極點(diǎn)， 
軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)求曲線
的普通方程與直線
的直角坐標(biāo)方程；
(Ⅱ)已知直線
與曲線
交于
， 
兩點(diǎn)，與
軸交于點(diǎn)
，求
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數(shù)
(萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量
(袋)，得到如下統(tǒng)計(jì)表：
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
參會人數(shù) | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
（1）根據(jù)所給5組數(shù)據(jù)，求出
關(guān)于
的線性回歸方程
.
（2）已知購買原材料的費(fèi)用
(元)與數(shù)量
(袋)的關(guān)系為
，
投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元，多余的原材料只能無償返還，據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加，根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程，預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(注：利潤
銷售收入
原材料費(fèi)用).
參考公式： 
， 
.
參考數(shù)據(jù)： 
， 
， 
.
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