Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，設(shè).

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交軌跡于兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率分別為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）考慮點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)，由可把用表示出來(lái)，再把代入已知拋物線(xiàn)方程即得； （Ⅱ）分析題意知直線(xiàn)斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)點(diǎn)， 由直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，消去得的一元二次方程，則可得，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)，則可以看作是曲線(xiàn)在A(yíng)點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，則可計(jì)算出，當(dāng)不過(guò)點(diǎn)時(shí)，計(jì)算，最后計(jì)算，交把代入得到關(guān)于的函數(shù)，可求得最小值．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則由得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，

（Ⅱ）方法一：由已知，直線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)點(diǎn)，設(shè)方程為，

聯(lián)立得

由韋達(dá)定理得

（1）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率看作拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，同理可得.

（2）當(dāng)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)即且時(shí)，，

所以的最小值為.

方法二：同上

故，所以的最小值為

方法三：設(shè)點(diǎn)，由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)交軌跡于兩點(diǎn)得：

化簡(jiǎn)整理得：

，令，則