Question

已知函數(shù)，.
(Ⅰ)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍.
注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）將代入函數(shù)解析式，并將函數(shù)解析式中的絕對(duì)值去掉，寫成分段函數(shù)，并將定義域分為兩部分：與，利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)在區(qū)間與上的最大值與最小值，然后進(jìn)行比較，最終確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；（Ⅱ）利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助“大于最大值，小于最小值”的思想求參數(shù)的取值范圍，不過(guò)在去絕對(duì)值符號(hào)的時(shí)候要對(duì)自變量的范圍進(jìn)行取舍（主要是自變量的范圍決定的符號(hào)）.
試題解析：(Ⅰ) 若，則.
當(dāng)時(shí)，，
，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上有最小值，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/28/a/r0u1v.png" style="vertical-align:middle;" />，
，而，
所以在區(qū)間上有最大值.
(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/89/7/1pfqe2.png" style="vertical-align:middle;" />．
由，得．           （*）
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，
不等式（*）恒成立，所以；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，由得，即，
現(xiàn)令， 則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/5/cldfd.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故在上單調(diào)遞增，
從而的最小值為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4f/0/1jyjh4.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立等價(jià)于，
所以；
②當(dāng)時(shí)，的最小值為，而，顯然不滿足題意.
綜上可得，滿足條件的的取值范圍是.
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、分段函數(shù)、參數(shù)分離法