Question

已知函數(shù)f（x）=（a-1）ln（e^x+a²-a-2）（a為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，對任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=0，函數(shù)，函數(shù)g（x）=ln[f（x）+1]．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對任意的x＞0，g（x）＜px恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)n∈N^*時(shí)，g（n）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）由“f（x）對任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0”得f（x）是R上的奇函數(shù)求解a，再由“函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)”驗(yàn)證．
（2）結(jié)合（1）將“任意的x＞0，g（x）＜px恒成立”轉(zhuǎn)化為：h（x）=g（x）-px=ln（x+1）-px＜0，x＞0恒成立，只要求得h（x）的最大值即可．
（3）觀察其結(jié)構(gòu)，我們可以先探究一下，g（1）＜1，即，ln（1+1）＜1，ln（

1

2

+1）＜

1

2

，依此類推，我們可以有l(wèi)n（

1

x

+1）＜

1

x

，成立，再用累加法求解．

解答：解：（1）∵f（x）對任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=（a-1）ln（1+a²-a-2）=0
即a2-a-2=0或a-1=0
∴a=-1或a=2或a=1，
∵f（x）是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，
∴a=2．
（2）由（1）知f（x）=x，函數(shù)g（x）=ln[f（x）+1]=ln（x+1），
設(shè)h（x）=g（x）-px=ln（x+1）-px（x＞0），
則g（x）＜px恒成立?h（x）＜0恒成立，
又h′（x）=

1

x+1

-p（x＞0）
①若p≥1，則h′（x）=

1

x+1

-p＜ 0，h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
因此h（x）＜h（0）=0恒成立，
②若p∈（0，1），則令h′（x）=0，解得x=

1-p

p

，
當(dāng)x∈（0，

1-p

p

）是，h（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，不成立
故實(shí)數(shù)p的取值范圍[1，+∞）
（3）證明：由第（2）小題可知，
當(dāng)p=1時(shí)，ln（x+1）＜x（x＞0）恒成立，
故當(dāng)x＞0，ln（

1

x

+1）＜

1

x

也恒成立，
∴l(xiāng)n2＜1，ln

3

2

＜

1

2

，ln

4

3

＜

1

3

，，ln

n+1

n

＜

1

n

將各不等式相加得
ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

+ln 

n+1

n

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

故g（n）＜1+

1

2

+ 

1

3

++

1

n

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，同時(shí)還考查了驗(yàn)證的思想，轉(zhuǎn)化的思想以及知識方法遷移的能力．