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        1. 已知函數(shù)f(x)=(a-1)ln(ex+a2-a-2)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù),對任意的x∈R,有f(x)+f(-x)=0,函數(shù),函數(shù)g(x)=ln[f(x)+1].
          (1)求實(shí)數(shù)a的值;
          (2)若對任意的x>0,g(x)<px恒成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
          (3)求證:當(dāng)n∈N*時(shí),g(n)<1+
          1
          2
          +
          1
          3
          +…+
          1
          n
          分析:(1)由“f(x)對任意的x∈R,都有f(x)+f(-x)=0”得f(x)是R上的奇函數(shù)求解a,再由“函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)”驗(yàn)證.
          (2)結(jié)合(1)將“任意的x>0,g(x)<px恒成立”轉(zhuǎn)化為:h(x)=g(x)-px=ln(x+1)-px<0,x>0恒成立,只要求得h(x)的最大值即可.
          (3)觀察其結(jié)構(gòu),我們可以先探究一下,g(1)<1,即,ln(1+1)<1,ln(
          1
          2
          +1)<
          1
          2
          ,依此類推,我們可以有l(wèi)n(
          1
          x
          +1
          1
          x
          ,成立,再用累加法求解.
          解答:解:(1)∵f(x)對任意的x∈R,都有f(x)+f(-x)=0,
          ∴f(x)是R上的奇函數(shù),
          ∴f(0)=(a-1)ln(1+a2-a-2)=0
          即a2-a-2=0或a-1=0
          ∴a=-1或a=2或a=1,
          ∵f(x)是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù),
          ∴a=2.
          (2)由(1)知f(x)=x,函數(shù)g(x)=ln[f(x)+1]=ln(x+1),
          設(shè)h(x)=g(x)-px=ln(x+1)-px(x>0),
          則g(x)<px恒成立?h(x)<0恒成立,
          又h′(x)=
          1
          x+1
          -p
          (x>0)
          ①若p≥1,則h′(x)=
          1
          x+1
          -p< 0
          ,h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
          因此h(x)<h(0)=0恒成立,
          ②若p∈(0,1),則令h′(x)=0,解得x=
          1-p
          p
          ,
          當(dāng)x∈(0,
          1-p
          p
          )是,h(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,不成立
          故實(shí)數(shù)p的取值范圍[1,+∞)
          (3)證明:由第(2)小題可知,
          當(dāng)p=1時(shí),ln(x+1)<x(x>0)恒成立,
          故當(dāng)x>0,ln(
          1
          x
          +1
          1
          x
          也恒成立,
          ∴l(xiāng)n2<1,ln
          3
          2
          1
          2
          ,ln
          4
          3
          1
          3
          ,,ln
          n+1
          n
          1
          n

          將各不等式相加得
          ln
          2
          1
          +ln
          3
          2
          +ln
          4
          3
          +
          …+ln
          n
          n-1
          +ln 
          n+1
          n
          <1+
          1
          2
          +
          1
          3
          +…+
          1
          n

          故g(n)<1+
          1
          2
          1
          3
          +
          +
          1
          n
          點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,同時(shí)還考查了驗(yàn)證的思想,轉(zhuǎn)化的思想以及知識方法遷移的能力.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
          (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
          (2)若函數(shù)y=f(2x+
          π
          4
          )
          的圖象關(guān)于直線x=
          π
          6
          對稱,求φ的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
          (1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
          (2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
          (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
          1
          x

          (2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
          m
          2
          ]
          ,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
          1
          f(n)
          }
          的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
          A、
          2011
          2012
          B、
          2010
          2011
          C、
          2009
          2010
          D、
          2008
          2009

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
           

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          同步練習(xí)冊答案