Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM₁M₂M₃N與路徑MN₁N都是M到N的“L路徑”．某地有三個(gè)新建居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A（3，20），B（-10，0），C（14，0）處．現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心．
（I）寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；
（II）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小．

Answer 1

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則
（I）點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值為|x-3|+|y-20|，y∈[0，+∞）；
（II）由題意知，點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度最小值之和（記為d）的最小值
①當(dāng)y≥1時(shí)，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
∵d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值為24
∵d₂（y）=2|y|+|y-20|≥21
∴當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)，d₂（y）=2|y|+|y-20|的最小值為21
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）時(shí)，點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小，且最小值為45；
②當(dāng)0≤y≤1時(shí)，由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，∴d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|
此時(shí)d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d₂（y）=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21
由①知d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥24，∴d₁（x）+d₂（y）≥45，當(dāng)且僅當(dāng)x=3，y=1時(shí)等號(hào)成立
綜上所述，在點(diǎn)P（3，1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小．
分析：（I）根據(jù)“L路徑”的定義，可得點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值；
（II）由題意知，點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度最小值之和（記為d）的最小值，分類討論，利用絕對(duì)值的幾何意義，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生建模的能力，同時(shí)考查學(xué)生的理解能力，屬于難題．