Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右準線分別為l₁、l₂，且分 別交x軸于C、D兩點，從l₁上一點A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點F被x軸反射后與l₂交于點B，若AF⊥BF且∠CAB=105°，則橢圓的離心率等于（　�。�

• A、

  6 - 2

  2

• B、

  3

  -1
• C、

  6 - 2

  4

• D、

  3 -1

  2

Answer 1

分析：如圖所示，作法線FM交AB于點M，利用光線的反射性質(zhì)及∠AFB=90°，可得∠AFB=∠BFM=45°．進而得到∠AFC=45°=∠BFD．于是得到Rt△ACF與Rt△BFD分別是等腰直角三角形．由于∠CAB=105°，可得∠BAF=60°．又|AF|=

2

|CF|，|BF|=

2

|FD|，及|BF|=

3

|AF|．即可得出橢圓的離心率．

解答：解：如圖所示，
作法線FM交AB于點M，∵∠AFB=90°，∴∠AFB=∠BFM=45°．
∴∠AFC=45°，∠BFD=45°．
∴Rt△ACF與Rt△BFD分別是等腰直角三角形．
∴|AF|=

2

|CF|=

2

(

a2

c

-c)，|BF|=

2

|FD|=

2

|

a2

c

+c|．
∵∠CAB=105°，∴∠BAF=105°-45°=60°．
∴|BF|=

3

|AF|．
∴

2

|

a2

c

+c|=

3

•

2

|

a2

c

-c|，
化為(

3

-1)a2=(

3

+1)c2，解得

c

a

=

6 - 2

2

．
故選：A．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、光線的反射性質(zhì)、等腰直角三角形及含60°角的直角三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．