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        1. 已知函數(shù)f(x)=ex+ax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),近似值為2.718).
          (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)不等式f(x)<x的解集為P,若M={x|
          12
          ≤x≤2}且M∩P=M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)當(dāng)a=-1,且設(shè)g(x)=exlnx,是否存在x0∈(0,+∞),使曲線C:y=g(x)-f(x)在點(diǎn)x0處的切線斜率與f(x)在R上的最小值相等?若存在,求符合條件的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)求出f′(x),解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,注意要對(duì)a分類(lèi)討論;
          (2)由M∩P=M,可得M⊆P,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)<x在[
          1
          2
          ,2]上恒成立,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題解決;
          (3)當(dāng)a=-1時(shí),求出f(x)在R上的最小值,假設(shè)存在符合條件的x0,則x0為方程y′=fmin(x)的解,構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)可以解決.
          解答:解:(1)f′(x)=ex+a,
          ①當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)≥0,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,+∞);
          ②當(dāng)a<0時(shí),令f′(x)=ex+a=0,得x=ln(-a),且當(dāng)x∈(-∞,ln(-a))時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(ln(-a),+∞)時(shí),f′(x)>0,
          所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,ln(-a)),單調(diào)增區(qū)間是(ln(-a),+∞).
          (2)因?yàn)镸∩P=M,所以M⊆P,從而f(x)<x在[
          1
          2
          ,2]上恒成立.
          由ex+ax<x,得a<1-
          ex
          x
          在[
          1
          2
          ,2]上恒成立.
          令h(x)=1-
          ex
          x
          ,x∈[
          1
          2
          ,2],則h′(x)=
          ex(1-x)
          x2
          ,
          所以h(x)在[
          1
          2
          ,2]上遞增,在[1,2]上遞減.
          又h(
          1
          2
          )=1-2
          e
          ,h(2)=1-
          e2
          2
          ,且h(2)<h(
          1
          2
          ),所以hmin(x)=h(2)=1-
          e2
          2
          ,所以a<1-
          e2
          2

          所以a的取值范圍是(-∞,1-
          e2
          2
          ).
          (3)由y=g(x)-f(x)=exlnx-ex+x,所以y′=ex(lnx+
          1
          x
          -1)+1.
          假設(shè)存在x0∈(0,+∞),使曲線C:y=g(x)-f(x)在點(diǎn)x0處的切線斜率與f(x)在R上的最小值相等,
          由(1)知,當(dāng)a=-1時(shí),f(x)的最小值是-(-1)+(-1)ln1=1,所以x0為方程y′=1,即ex(lnx+
          1
          x
          -1)=0的解.
          令t(x)=lnx+
          1
          x
          -1,x∈(0,+∞),由t′(x)=
          1
          x
          -
          1
          x2
          =
          x-1
          x2
          ,
          知t(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù),所以t(x)≥t(1)=0,
          故方程lnx+
          1
          x
          -1=0在(0,+∞)上有唯一解為1.
          所以,存在符合條件的x0,且只有1個(gè).
          點(diǎn)評(píng):本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,關(guān)于不等式恒成立問(wèn)題,往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題,方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,本題滲透了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化思想.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          已知函數(shù)f(x)=e-x(cosx+sinx),將滿足f′(x)=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列{xn}.求證:數(shù)列{f(xn)}為等比數(shù)列.

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          (2013•西城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|.若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。

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          (2012•菏澤一模)已知函數(shù)f(x)=e|lnx|-|x-
          1
          x
          |,則函數(shù)y=f(x+1)的大致圖象為(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=e-xsinx(其中e=2.718…).
          (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)求f(x)在[-π,+∞)上的最大值與最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=e-x(x2+x+1).
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
          (Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.

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