Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）設，若曲線在兩個不同的點，處的切線互相平行，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出，分類討論或，判斷的正負即可求解.

（2）根據(jù)題意可得，代入導函數(shù)整理可得，利用基本不等式證出，從而，令，不妨設，利用導數(shù)判斷的單調性，求出最小值即可證出.

解：（1），.

（i）當時，，則在上是減函數(shù)，

此時無極值.

（ii）當時，考慮二次函數(shù)，則.

當時，，則，

即對任意的恒成立，所以在上是增函數(shù)，

此時無極值.

當時，，

則的兩根為，.

當時，；當時，；

當時，，所以在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以在處有極大值，在處有極小值.

（2）由題意，得，，，，

且.

移項整理，得.

因為，，，

所以，即.

.

令，則.

設，

則.

當時，；當時，，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以是的極小值點，也是的最小值點，

即，

故成立.