Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線的焦點，且離心率等于，直線與橢圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的右焦點F是否可以為的垂心？若可以，求出直線的方程；若不行，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程：，
由題意知，
∴ 橢圓C的方程為： 
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線，使得是的垂心，直線BF的斜率為，
從而直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，
由，設(shè)
則，且，


，解得或 
當(dāng)時點B為直線與橢圓的一個交點，不合題意舍去；
當(dāng)時，直線與橢圓相交兩點，且滿足題意；
綜上可知直線的方程為時，橢圓C的右焦點F是可以為的垂心 。
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的做法，為圓錐曲線的常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握。考查了學(xué)生綜合分析問題的能力，知識的遷移能力以及運(yùn)算能力。解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析。