已知橢圓
（
）的右焦點為
，離心率為
.
（Ⅰ）若
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線
與橢圓相交于
，
兩點，
分別為線段
的中點. 若坐標原點
在以
為直徑的圓上，且
，求
的取值范圍.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
解析試題分析：（Ⅰ）由已知橢圓的半焦距
，又
，根據離心率的定義得
，則
，所以
，從而得出所求橢圓的方程為
.
（2）根據題意可設點、的坐標分別為
、
，聯立直線方程
與橢圓方程，消去
得
，則
，
，因為原點在圓上，所以
，根據三角形中位線性質可知四邊形
為矩形，所以
，又
，所以
，
，因此
，即
，從而可整理得
，又因為，所以
，即
，從而
，所以
，因此
，解得.（如圖所示）
試題解析：（Ⅰ）由題意得
，得. 2分
結合
，解得
，
. 3分
所以，橢圓的方程為. 4分
（Ⅱ）由
得.
設
.
所以， 6分
依題意，，
易知，四邊形為平行四邊形，
所以， 7分
因為
，
，
所以
. 8分
即 ， 9分
將其整理為 
. 10分
因為，所以
，
. 11分
所以
，即. 13分
考點：1.橢圓方程；2.直線與橢圓；3.向量.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動直線
與橢圓
交于
、
兩不同點，且△
的面積
=
，其中
為坐標原點.
（1）證明
和
均為定值；
（2）設線段
的中點為
，求
的最大值；
（3）橢圓
上是否存在點
，使得
？若存在，判斷△
的形狀；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知
分別是橢圓
的左、右焦點，橢圓
與拋物線
有一個公共的焦點，且過點
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)設點
是橢圓在第一象限上的任一點,連接
,過點作斜率為
的直線
,使得與橢圓有且只有一個公共點,設直線的斜率分別為
,
,試證明
為定值,并求出這個定值；
（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作
，設
交
于點
，
證明:當點
在橢圓上移動時，點在某定直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知兩點
，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為
.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓
（
）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
經過點
,離心率為
．
(1)求橢圓C的方程：
(2)過點Q(1,0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點,點P(4,3),記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,當k1·k2最大時,求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓
，稱圓心在坐標原點O，半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是
.
（1）若橢圓C上一動點
滿足
，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點
作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
，求P點的坐標；
（3）已知
，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點
的直線的最短距離
.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數，直線
與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點，設兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1＋k2＝2，證明：直線AB過定點(―1,―1)
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）已知
的兩頂點坐標
，
，圓
是的內切圓，在邊
，
，
上的切點分別為
，
（從圓外一點到圓的兩條切線段長相等），動點
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）設直線與曲線的另一交點為
，當點
在以線段
為直徑的圓上時，求直線的方程.
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為橢圓
上任意一點，
、
為左右焦點．如圖所示：
的中點為
，求證
；
，求
的值．