Question

【題目】已知傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的兩條直線(xiàn)、分別交拋物線(xiàn)于點(diǎn)、和、，線(xiàn)段和的中點(diǎn)分別為、.如果直線(xiàn)與的斜率之積等于1，求證：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得，由弦長(zhǎng)公式可得，則,拋物線(xiàn)的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為.則直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得，據(jù)此可得，同理可得：，直線(xiàn)的方程為，即，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

詳解：（Ⅰ）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，令，.

聯(lián)立得，∴，

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得，又，又，∴，∴.

則此拋物線(xiàn)的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為.

于是直線(xiàn)的方程為，即，

聯(lián)立得，∴，

則，∴，

同理將換成得：，

∴ .

則直線(xiàn)的方程為，

即，顯然當(dāng)，.

所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn).