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        1. 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知
          (1)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)在an與an+1之間插入n個數(shù),使這n+2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列(如:在a1與a2之間插入1個數(shù)構(gòu)成第一個等差數(shù)列,其公差為d1;在a2與a3之間插入2個數(shù)構(gòu)成第二個等差數(shù)列,其公差為d2,…以此類推),設(shè)第n個等差數(shù)列的和是An.是否存在一個關(guān)于n的多項式g(n),使得An=g(n)dn對任意n∈N*恒成立?若存在,求出這個多項式;若不存在,請說明理由;
          (3)對于(2)中的數(shù)列d1,d2,d3,…,dn,…,這個數(shù)列中是否存在不同的三項dm,dk,dp(其中正整數(shù)m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,若存在,求出這樣的三項;若不存在,說明理由.
          【答案】分析:(1)n≥2時,由an+1=2Sn+2,再寫一式,兩式相減,即可求得數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)先求得dn,從而可得第n個等差數(shù)列的和An,由此可得結(jié)論;
          (3)利用反證法.假設(shè)在數(shù)列{dn}中存在dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,由此可得m=k=p這與題設(shè)矛盾.
          解答:解:(1)n≥2時,由an+1=2Sn+2,得an=2Sn-1+
          兩式相減可得:an+1-an=2an,∴an+1=3an,即數(shù)列{an}的公比為3
          ∵n=1時,a2=2S1+2,∴3a1=2a1+2,解得a1=2,
          ∴an=2×3n-1;
          (2)由(1)知an=2×3n-1,an+1=2×3n,
          因為an+1=an+(n+1)dn,所以dn=
          第n個等差數(shù)列的和是An=(n+2)an+×=4(n+2)×3n-1=(n+2)(n+1)dn,
          ∴存在一個關(guān)于n的多項式g(n)=(n+2)(n+1),使得An=g(n)dn對任意n∈N*恒成立;
          (3)假設(shè)在數(shù)列{dn}中存在dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列
          則dk2=dmdp,即(2=×
          因為m,k,p成等差數(shù)列,所以m+p=2k①
          上式可以化簡為k2=mp②
          由①②可得m=k=p這與題設(shè)矛盾
          所以在數(shù)列{dn}中不存在三項dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列通項公式的求解,考查等差數(shù)列的求和,考查反證法思想,確定數(shù)列的通項,利用數(shù)列的求和公式是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若8a2+a5=0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是(  )
          A、
          a5
          a3
          B、
          S5
          S3
          C、
          an+1
          an
          D、
          Sn+1
          Sn

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          12、設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,巳知S10=∫03(1+2x)dx,S20=18,則S30=
          21

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          設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6:S3=3,則S9:S6=
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若
          S6
          S3
          =3,則
          S9
          S6
          =( 。
          A、
          1
          2
          B、
          7
          3
          C、
          8
          3
          D、1

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          設(shè)等比數(shù)列{an}的前n 項和為Sn,若
          S6
          S3
          =3,則
          S9
          S3
          =
          7
          7

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