Question

設(shè)函數(shù)f(e^x)＝ex，g(x)－(x＋1)(e＝2.718……)

(1)求函數(shù)g(x)的極大值

(2)求證1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)(n∈N^*)

(3)若h(x)＝x²，曲線y＝h(x)與y＝f(x)是否存在公共點(diǎn)，若存在公共點(diǎn)，在公共點(diǎn)處是否存在公切線，若存在，求出公切線方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　g(x)＝lnx－(x＋1) 　　當(dāng)0＜x＜1時(shí)，＞0 　　當(dāng)x＞1時(shí)，＜0 　　所以g(x)極大值＝g(1)＝－2　3分 　　(2)由(1)知，x＝1是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)， 　　所以g(x)≤g(1)＝－2 　　即lnx－(x＋1)≤－2，lnx≤x－1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號成立) 　　令u＝x－1，得u≥ln(u＋1)，取u＝ 　　　8分 　　(3)令F(x)＝h(x)－f(x)＝－elnx(x＞0) 　　 　　　12分