已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間
上有極值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若關(guān)于的方程
有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng),
時(shí),求證:
.
(1)
(2)
(3)根據(jù)數(shù)列的求和來(lái)放縮法得到不等式的證明關(guān)鍵是對(duì)于的運(yùn)用。
解析試題分析:解:(1),
當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;
函數(shù)
在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù);在區(qū)間
為減函數(shù) 3分
當(dāng)
時(shí),函數(shù)
取得極大值,而函數(shù)
在區(qū)間
有極值.
,解得
. 5分
(2)由(1)得的極大值為
,令
,所以當(dāng)
時(shí),函數(shù)
取得最小值
,又因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/2/ebdsb1.png" style="vertical-align:middle;" />有實(shí)數(shù)解,那么
,即
,所以實(shí)數(shù)
的取值范圍是:
. 10分
(另解:,
,
令,所以
,當(dāng)
時(shí),
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
當(dāng)
時(shí),函數(shù)
取得極大值為
當(dāng)方程
有實(shí)數(shù)解時(shí),
.)
(3)函數(shù)
在區(qū)間
為減函數(shù),而
,
,即
12分
即,
而,
結(jié)論成立. 16分
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng):根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性,是解決該試題的關(guān)鍵,同時(shí)能結(jié)合函數(shù)與方程的思想求解方程的根,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為
階“期待數(shù)列”:
①;②
.
(1)若等比數(shù)列為
(
)階“期待數(shù)列”,求公比
;
(2)若一個(gè)等差數(shù)列既是
(
)階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)記階“期待數(shù)列”
的前
項(xiàng)和為
:
(ⅰ)求證:;
(ⅱ)若存在使
,試問(wèn)數(shù)列
能否為
階“期待數(shù)列”?若能,求出所有這樣的數(shù)列;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
為正整數(shù).
(Ⅰ)求和
的值;
(Ⅱ)數(shù)列的通項(xiàng)公式為
(
),求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足:
,
,設(shè)
,若(Ⅱ)中的
滿足:對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n,
恒成立,試求m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)正項(xiàng)數(shù)列都是等差數(shù)列,且公差相等,(1)求
的通項(xiàng)公式;(2)若
的前三項(xiàng),記數(shù)列
數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和
,數(shù)列
滿足
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
;(2)求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;
(3)求證:不論取何正整數(shù),不等式
恒成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在數(shù)列中,
,且
.
(Ⅰ) 求,猜想
的表達(dá)式,并加以證明;
(Ⅱ) 設(shè),求證:對(duì)任意的自然數(shù)
,都有
;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和
(n為正整數(shù))。
(Ⅰ)令,求證數(shù)列
是等差數(shù)列,并求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令,
試比較
與
的大小,并予以證明。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿分16分)
已知有窮數(shù)列共有
項(xiàng)(整數(shù)
),首項(xiàng)
,設(shè)該數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
其中常數(shù)
⑴求
的通項(xiàng)公式;⑵若
,數(shù)列
滿足
求證:;
⑶若⑵中數(shù)列滿足不等式:
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分) 已知曲線,從
上的點(diǎn)
作
軸的垂線,交
于點(diǎn)
,再?gòu)狞c(diǎn)
作
軸的垂線,交
于點(diǎn)
,
設(shè).。
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
記
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,試比較
與
的大小
;
記
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,試證明:
。
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