Question

在數(shù)列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；
(Ⅱ) 設(shè)，求證：對(duì)任意的自然數(shù)，都有；

Answer 1

（1），， 利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）---（9分）
所以所以只需要證明
（顯然成立）

解析試題分析：（1）容易求得：，----------------------（2分）
故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，-----------------（3分）
假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即
，--------------------------（4分）
那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：
   （6分）
即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對(duì),成立。 （7分）
（2）---（9分）
所以
------（11分）
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對(duì)任意的自然數(shù)，都有    （14分）
考點(diǎn)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng)：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)首先要驗(yàn)證時(shí)成立,注意不一定為1;
(2)在第二步中,關(guān)鍵是要正確合理地運(yùn)用歸納假設(shè),尤其要弄清由k到k+1時(shí)命題的變化