已知數(shù)列
，
滿足：
．
（1）若
，求數(shù)列的通項公式；
（2）若
，且
．
① 記
，求證：數(shù)列
為等差數(shù)列；
② 若數(shù)列
中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項
應(yīng)滿足的條件．
（1）
（2）①根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明相鄰兩項的差為定值來得到證明。從第二項起滿足題意即可。
②當(dāng)
，數(shù)列任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次
解析試題分析：解：（1）當(dāng)
時，有
．
又
也滿足上式，所以數(shù)列
的通項公式是． 4分
（2）①因為對任意的
，有
，所以，
，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列． 8分
②設(shè)
（其中
為常數(shù)且
，
所以，
，
即數(shù)列
均為以7為公差的等差數(shù)列． 10分
設(shè)
．
（其中
為
中一個常數(shù)）
當(dāng)
時，對任意的
，有
； 12分
當(dāng)
時，
．
（Ⅰ）若
，則對任意的
有
，所以數(shù)列
為遞減數(shù)列；
（Ⅱ）若
，則對任意的有
，所以數(shù)列為遞增數(shù)列．
綜上所述，集合
．
當(dāng)
時，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次；
當(dāng)時，數(shù)列
均為單調(diào)數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次． 18分
考點：數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的概念
點評：主要是考查了等差數(shù)列的概念和數(shù)列的單調(diào)性的運用，屬于難度題。
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已知數(shù)列
中，
，
，若數(shù)列
滿足
.
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列中的最大項與最小項.
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已知點
在函數(shù)
圖象上，過點
的切線的方向向量為
（
＞0）.
（Ⅰ）求數(shù)列
的通項公式，并將化簡;
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，若
≤Sn對任意正整數(shù)n均成立，求實數(shù)的范圍.
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設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列
為
階“期待數(shù)列”：
①
；②
．
（1）若等比數(shù)列
為
(
)階“期待數(shù)列”，求公比
；
（2）若一個等差數(shù)列既是 ()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；
（3）記階“期待數(shù)列”
的前
項和為
：
（�。┣笞C：
；
（ⅱ）若存在
使
，試問數(shù)列
能否為階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由．
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對于無窮數(shù)列
和函數(shù)
，若
，則稱是數(shù)列的母函數(shù).
（Ⅰ）定義在
上的函數(shù)
滿足：對任意
，都有
，且
；又?jǐn)?shù)列
滿足：
.
求證：(1)
是數(shù)列
的母函數(shù)；
(2)求數(shù)列的前項
和
.
（Ⅱ）已知
是數(shù)列
的母函數(shù)，且
.若數(shù)列
的前項和為
，求證：
.
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在數(shù)列
中，
，且
.
(Ⅰ) 求
，猜想
的表達(dá)式，并加以證明；
(Ⅱ) 設(shè)
，求證：對任意的自然數(shù)
，都有
；
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是等差數(shù)列，公差
，
是
項和，已知
.
；
=
，求數(shù)
列的前
.
，a1=1，點
在直線
上.
，求證：
<1.
}滿足
=1，
=
，（1）計算
，
，
的值；（2）歸納推測