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        1.  已知橢圓長軸的左右端點分別為A,B,短軸的上端點為M,O為橢圓的中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點,且·=1,||=1.

          (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (Ⅱ)若直線l交橢圓于P,Q兩點,問:是否存在直線l,使得點F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

           

          【答案】

          (Ⅰ)橢圓方程為;(Ⅱ)滿足題意的直線存在,方程為:.

          【解析】

          試題分析:(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可采用待定系數(shù)法求方程, 設(shè)橢圓方程為,利用條件求的值,從而得方程,因為||=1,即,再由·=1,寫出,的坐標(biāo),從而求出的值,可得方程;(Ⅱ)此題屬于探索性命題,解此類問題,一般都假設(shè)成立,作為條件,能求出值,則成立,若求不出值,或得到矛盾的結(jié)論,則不存在,此題假設(shè)存在直線符合題意,設(shè)出直線方程,根據(jù)直線與二次曲線位置關(guān)系的解題方法,采用設(shè)而不求的解題思維,設(shè)的坐標(biāo),根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,來求出直線方程,值得注意的是,當(dāng)方程不恒有交點時,需用判別式討論參數(shù)的取值范圍.

          試題解析:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為,,所以,又因為,所以,則橢圓方程為;

          (Ⅱ)假設(shè)存在直線符合題意。由題意可設(shè)直線方程為:,代入得:,,設(shè),則,,    解得: , 當(dāng)時,三點共線,所以,所以,所以滿足題意的直線存在,方程為:.

          考點:本題考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力.

           

          練習(xí)冊系列答案
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          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,短軸兩個端點為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.
          (Ⅰ)求橢圓方程;
          (Ⅱ)若C,D分別是橢圓長軸的左右端點,動點M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點P.求證:
          OM
          OP
          為定值.

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              已知橢圓長軸的左右端點分別為A,B,短軸的上端點為M,O為橢圓的中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點,且·=1,||=1.

             (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (2)若直線l交橢圓于P,Q兩點,問:是否存在直線l,使得點F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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