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        1. 對于數(shù)列{un},若存在常數(shù)M>0,對任意的(n∈N*),恒有|un+1-u|+|un+un-1|+…+|u2-u1|≤M,則稱數(shù)列{un}為B-數(shù)列.
          (1)首項(xiàng)為1,公比為-
          12
          的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列?請說明理由;
          (2)設(shè){sn}是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和.給出下列兩組判斷:
          A組:①數(shù)列{xn}是B-數(shù)列,②數(shù)列{xn}不是B-數(shù)列;
          B組:③數(shù)列{sn}是B-數(shù)列,④數(shù)列{sn}不是B-數(shù)列.
          請以其中一組中的一個(gè)論斷為條件,另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假,并證明你的結(jié)論.
          分析:(1)設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為an,則an=(-
          1
          2
          )
          n-1
          .于是|an-an-1|  =|(-
          1
          2
          )
          n-1
          -(-
          1
          2
          )
          n-2
          |=
          3
          2
          ×(
          1
          2
          )
          n-2
          n≥2,由此可知首項(xiàng)為1,公比為-
          1
          2
          的等比數(shù)列是B-數(shù)列.
          (2)命題1:若數(shù)列xn是B-數(shù)列,則數(shù)列Sn是B-數(shù)列.此命題為假命題.根據(jù)B-數(shù)列的性質(zhì)可以進(jìn)行證明.
          命題2:若數(shù)列Sn是B-數(shù)列,則數(shù)列xn不是B-數(shù)列.此命題為真命題.根據(jù)B-數(shù)列的性質(zhì)可以進(jìn)行證明.
          解答:解:(1)設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為an,
          an=(-
          1
          2
          )
          n-1

          于是|an-an-1|  =|(-
          1
          2
          )
          n-1
          -(-
          1
          2
          )
          n-2
          |=
          3
          2
          ×(
          1
          2
          )
          n-2
          n≥2
          |an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|

          =
          3
          2
          ×[1+
          1
          2
          +(
          1
          2
          )
          2
          +…+(
          1
          2
          )
          n-1
          ]

          =3×[1-(
          1
          2
          )
          n
          ] <3
          ,所以首項(xiàng)為1,公比為-
          1
          2
          的等比數(shù)列是B-數(shù)列.
          (2)命題2:若數(shù)列xn是B-數(shù)列,
          則數(shù)列Sn是B-數(shù)列.此命題為假命題.
          事實(shí)上設(shè)xn=1(n∈N*),易知數(shù)列xn是B-數(shù)列,但Sn=n,
          |Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|=n.
          由n的任意性知,數(shù)列Sn不是B-數(shù)列.
          命題2:若數(shù)列Sn是B-數(shù)列,
          則數(shù)列xn不是B-數(shù)列.此命題為真命題.
          事實(shí)上,因?yàn)閿?shù)列Sn是B-數(shù)列,
          所以存在正數(shù)M,對任意的n∈N*,
          有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M,
          即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M.
          于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|,
          所以數(shù)列xn是B-數(shù)列.
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)計(jì)算.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知Sn是數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和,Sn滿足關(guān)系式2Sn=Sn-1-(
          1
          2
          )n-1+2
          ,a1=
          1
          2

          (n≥2,n為正整數(shù)).
          (1)令bn=2nan,求證數(shù)列{bn }是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)對于數(shù)列{un},若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N*,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M成立,稱數(shù)列{un} 為“差絕對和有界數(shù)列”,
          證明:數(shù)列{an}為“差絕對和有界數(shù)列”;
          (3)根據(jù)(2)“差絕對和有界數(shù)列”的定義,當(dāng)數(shù)列{cn}為“差絕對和有界數(shù)列”時(shí),
          證明:數(shù)列{cn•an}也是“差絕對和有界數(shù)列”.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn滿足關(guān)系式2Sn=Sn-1-(
          1
          2
          )n-1+2
          ,a1=
          1
          2
          (n≥2,n為正整數(shù)).
          (1)令bn=2nan,求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (3)對于數(shù)列{un},若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N*,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…|u2-u1|≤M成立,稱數(shù)列{un}為“差絕對和有界數(shù)列”,證明:數(shù)列{an}為“差絕對和有界數(shù)列”.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省南京市高考數(shù)學(xué)3月信息試卷(解析版) 題型:解答題

          已知Sn是數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和,Sn滿足關(guān)系式,
          (n≥2,n為正整數(shù)).
          (1)令bn=2nan,求證數(shù)列{bn }是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)對于數(shù)列{un},若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N*,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M成立,稱數(shù)列{un} 為“差絕對和有界數(shù)列”,
          證明:數(shù)列{an}為“差絕對和有界數(shù)列”;
          (3)根據(jù)(2)“差絕對和有界數(shù)列”的定義,當(dāng)數(shù)列{cn}為“差絕對和有界數(shù)列”時(shí),
          證明:數(shù)列{cn•an}也是“差絕對和有界數(shù)列”.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省蘇北四市四星級(jí)重點(diǎn)高中高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

          已知Sn是數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和,Sn滿足關(guān)系式,
          (n≥2,n為正整數(shù)).
          (1)令bn=2nan,求證數(shù)列{bn }是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)對于數(shù)列{un},若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N*,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M成立,稱數(shù)列{un} 為“差絕對和有界數(shù)列”,
          證明:數(shù)列{an}為“差絕對和有界數(shù)列”;
          (3)根據(jù)(2)“差絕對和有界數(shù)列”的定義,當(dāng)數(shù)列{cn}為“差絕對和有界數(shù)列”時(shí),
          證明:數(shù)列{cn•an}也是“差絕對和有界數(shù)列”.

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