Question

【題目】定義在上的單調遞減函數(shù)，對任意都有， ．

（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明之；

（Ⅱ）若對任意，不等式（為常實數(shù)）都成立，求的取值范圍；（Ⅲ）設， ， ， ， ．

若 ， ，比較的大小并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）為上的奇函數(shù)；證明見解析（Ⅱ）（Ⅲ）；

【解析】【試題分析】（Ⅰ）先取取得，再取得

，進而可得對任意都有，運用定義可證為上奇函數(shù)；（Ⅱ）先借助函數(shù)的奇偶性、單調性將不等式進行等價轉化為，再將不等式中的參數(shù)分離出來，將該不等式化為“在上恒成立”問題，最后通過求函數(shù)

的值域即可；（Ⅲ）先依據(jù)題設條件將的解析式化簡求出，再進行分析比較其大小：

（Ⅰ）解: 為上的奇函數(shù)

證明：取得

∴

取得

即：對任意都有

∴

∴為上奇函數(shù)

（Ⅱ）∵

∴

∵在上單減

∴在上恒成立

∴

∴在上恒成立

在上恒成立

∴當時，

∴

即

（Ⅲ）

∴在單增，在上單減

同理：

∴。