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        1. (2012•濟南三模)已知直線l:y=x+1,圓O:x2+y2=
          3
          2
          ,直線l被圓截得的弦長與橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的短軸長相等,橢圓的離心率e=
          3
          2

          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)過點M(0,-
          1
          3
          )的動直線l交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過定點T?若存在,求出點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          分析:(Ⅰ)由題設(shè)可知b=1,利用e=
          3
          2
          ,即可求得橢圓C的方程;
          (Ⅱ)先猜測T的坐標(biāo),再進行驗證.若直線l的斜率存在,設(shè)其方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)運算公式即可證得.
          解答:解:(Ⅰ)則由題設(shè)可知b=1,(2分)
          e=
          3
          2
          ,∴
          a2-1
          a2
          =
          3
          4
          ,∴a2=4      (3分)
          所以橢圓C的方程是
          x2
          4
          +y2=1
          .…(4分)
          (Ⅱ)若直線l與y軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1①
          若直線l垂直于y軸,則以AB為直徑的圓是x2+(y+
          1
          3
          )
          2
          =
          16
          9
            ②…(6分)
          由①②解得
          x=0
          y=1

          由此可知所求點T如果存在,只能是(0,1).…(7分)
          事實上點T(0,1)就是所求的點.證明如下:
          當(dāng)直線l的斜率不存在,即直線l與y軸重合時,以AB為直徑的圓為x2+y2=1,過點T(0,1);
          當(dāng)直線l的斜率存在,設(shè)直線方程為y=kx-
          1
          3
          ,代入橢圓方程,并整理,得(18k2+9)x2-12kx-16=0(8分)
          設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
          12k
          18k2+9
          ,x1x2=
          -16
          18k2+9

          TA
          =(x1,y1-1),
          TB
          =(x2,y2-1)
          TA
          TB
          =x1x2+(y1-1)(y2-1)=(k2+1)x1x2-
          4
          3
          (x1+x2)+
          16
          9
          =
          -16k2-16-16k2+32k2+16
          18k2+9
          =0

          TA
          TB
          ,即以AB為直徑的圓恒過定點T(0,1).…(11分)
          綜上可知,在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件.…(12分)
          點評:本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的坐標(biāo)運算、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•濟南三模)經(jīng)市場調(diào)查,某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計),第t天(1≤t≤30,t∈N﹢)的旅游人數(shù)f(t) (萬人)近似地滿足f(t)=4+
          1t
          ,而人均消費g(t)(元)近似地滿足g(t)=120-|t-20|.
          (1)求該城市的旅游日收益w(t)(萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)求該城市旅游日收益的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•濟南三模)某旅游景點預(yù)計2013年1月份起前x個月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位:萬人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)=
          1
          2
          x(x+1)•(39-2x),(x∈N*,且x≤12).已知第x月的人均消費額q(x)(單位:元)與x的近似關(guān)系是q(x)=
          35-2x(x∈N*,且1≤x≤6)
          160
          x
          (x∈N*,且7≤x≤12)

          (I)寫出2013年第x月的旅游人數(shù)f(x)(單位:人)與x的函數(shù)關(guān)系式;
          (II)試問2013年第幾月旅游消費總額最大,最大月旅游消費總額為多少元?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•濟南三模)如圖所示,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,且2PA=AD,E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點.
          (Ⅰ)求證:BC∥平面EFG;
          (Ⅱ)求證:DH⊥平面AEG;
          (Ⅲ)求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•濟南三模)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*),f(x)表示f(x)導(dǎo)函數(shù).
          (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
          (Ⅱ)當(dāng)k為偶數(shù)時,數(shù)列{an}滿足a1=1,anf(an)
          =a
          2
          n+1
          -3
          .證明:數(shù)列{
          a
          2
          n
          }中不存在成等差數(shù)列的三項;
          (Ⅲ)當(dāng)k為奇數(shù)時,設(shè)bn=
          1
          2
          f
          (n)-n
          ,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,證明不等式(1+bn)
          1
          bn+1
          e對一切正整數(shù)n均成立,并比較S2012-1與ln2012的大。

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