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        1. (2012•濟南三模)設函數(shù)f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*),f(x)表示f(x)導函數(shù).
          (I)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
          (Ⅱ)當k為偶數(shù)時,數(shù)列{an}滿足a1=1,anf(an)
          =a
          2
          n+1
          -3
          .證明:數(shù)列{
          a
          2
          n
          }中不存在成等差數(shù)列的三項;
          (Ⅲ)當k為奇數(shù)時,設bn=
          1
          2
          f
          (n)-n
          ,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,證明不等式(1+bn)
          1
          bn+1
          e對一切正整數(shù)n均成立,并比較S2012-1與ln2012的大。
          分析:(I)先求函數(shù)f(x)的導數(shù),f′(x),再對k進行奇偶數(shù)討論:1°當k 為奇數(shù)時;2°當k 為偶數(shù)時;分別得出導數(shù)值為正或負時的x的取值集合,最后綜合即可;
          (II)當k 為偶數(shù)時,由(1)知f′(x),由條件得{an 2+1}是一個公比為2的等比數(shù)列,從而得到an2=2n-1,最后利用反證法進行證明即可;
          (Ⅲ) 當k為奇數(shù)時,f′(x)=2(x+
          1
          x
          ),要證(1+bn 
          1
          bn+1
          >e,即證(1+
          1
          n
          n+1>e,兩邊取對數(shù),即證ln(1+
          1
          n
          )>
          1
          n+1
          ,設1+
          1
          n
          =t,構造函數(shù)g(t)=lnt+
          1
          t
          -1,利用導數(shù)工具研究其單調性即可證得lnt>1-
          1
          t
          ,最后利用累乘法即可證出S2012-1<ln2012.
          解答:解:(I)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),又f′(x)=2x-2(-1)k
          1
          x
          =
          2[x2-(-1)k]
          x
          ,
          1°當k 為奇數(shù)時,f′(x)=
          2(x2+1)
          x
          ,∵x∈(0,+∞),∴f′(x)>0恒成立;
          2°當k 為偶數(shù)時,f′(x)=
          2(x2-1)
          x
          ,∵x+1>0,∴f′(x)>0得x>1,即f(x)的單調增區(qū)間為(1,+∞),
          綜上所述,當k 為奇數(shù)時,f(x)的單調增區(qū)間為(0,+∞),當k 為偶數(shù)時,即f(x)的單調增區(qū)間為(1,+∞),
          (Ⅱ)當k 為偶數(shù)時,由(1)知f′(x)=2x-
          2
          x
          ,∴f′(an)=2an-
          2
          an
          ,
          由條件得:2(an2-1)=a n+1 2-3,故有:an+1 2+1=2(an 2+1),
          ∴{an 2+1}是一個公比為2的等比數(shù)列,∴an2=2n-1,
          假設數(shù)列{an2}中的存在三項ar 2,s 2,at 2,能構成等差數(shù)列
          不妨設r<s<t,則2as 2=a r 2+at 2
          即2(2s-1)=2r-1+2t-1,∴2 s-r+1=1+2 t-r,
          又s-r+1>0,t-r>0,∴2 s-r+1為偶數(shù),1+2 t-r為奇數(shù),故假設不成立,
          因此,數(shù)列{an2}中的任意三項不能構成等差數(shù)列;
          (Ⅲ) 當k為奇數(shù)時,f′(x)=2(x+
          1
          x
          ),
          ∴bn=
          1
          2
          f′(n)-n=
          1
          n
          ,Sn=1+
          1
          2
          +
          1
          3
          +…+
          1
          n

          要證(1+bn 
          1
          bn+1
          >e,即證(1+
          1
          n
          n+1>e,兩邊取對數(shù),
          即證ln(1+
          1
          n
          )>
          1
          n+1
          (10分)
          設1+
          1
          n
          =t,則n=
          1
          t-1

          lnt>1-
          1
          t
          (t>1),構造函數(shù)g(t)=lnt+
          1
          t
          -1,
          ∵x>1,∴g′(t)=
          1
          t
          -
          1
          t2
          >0
          ∴g(t)在(1,+∞)上是增函數(shù),g(t)>g(1)>0
          即lnt>1-
          1
          t
          ,∴(1+bn 
          1
          bn+1
          >e,
          S2012-1=(1+
          1
          2
          +
          1
          3
          +…+
          1
          2012
          )-1=
          1
          2
          +
          1
          3
          +…+
          1
          2012

          ∵ln(1+
          1
          n
          )>
          1
          n+1
          ,∴
          1
          2
          +
          1
          3
          +…+
          1
          2012
          <ln2+ln(1+
          1
          2
          )+…+ln(1+
          1
          2012
          )=ln2+ln
          3
          2
          +…+ln
          2012
          2011

          =ln(2×
          3
          2
          ×…×
          2012
          2011
          )=ln2012,
          1
          2
          +
          1
          3
          +…+
          1
          2012
          <ln2012,
          點評:本小題主要考查等差關系的確定、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、證明不等式等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想.屬于中檔題.
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          1t
          ,而人均消費g(t)(元)近似地滿足g(t)=120-|t-20|.
          (1)求該城市的旅游日收益w(t)(萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N)的函數(shù)關系式;
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          1
          2
          x(x+1)•(39-2x),(x∈N*,且x≤12).已知第x月的人均消費額q(x)(單位:元)與x的近似關系是q(x)=
          35-2x(x∈N*,且1≤x≤6)
          160
          x
          (x∈N*,且7≤x≤12)

          (I)寫出2013年第x月的旅游人數(shù)f(x)(單位:人)與x的函數(shù)關系式;
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          (Ⅱ)求證:DH⊥平面AEG;
          (Ⅲ)求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比.

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          3
          2
          ,直線l被圓截得的弦長與橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的短軸長相等,橢圓的離心率e=
          3
          2

          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)過點M(0,-
          1
          3
          )的動直線l交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得無論l如何轉動,以AB為直徑的圓恒過定點T?若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.

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