Question

（2009•荊州模擬）已知F₁、F₂為橢圓C：

x2

m+1

+

y2

m

=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上的動點(diǎn)，則△F₁PF₂面積的最大值為2，則橢圓的離心率e為（　�。�

• A．

  2

  3

• B．

  3

  4

• C．

  5

  5

• D．

  7

  10

Answer 1

分析：由題意得c=1，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得當(dāng)點(diǎn)P落在短軸的端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積最大，結(jié)合題意解出b=2，再用平方關(guān)系算出a的值．最后根據(jù)橢圓離心率公式，即可算出本題的答案．

解答：解：∵橢圓C：

x2

m+1

+

y2

m

=1，
∴橢圓的a=

m+1

，b=

m

，焦距2c=|F₁F₂|=2．
∵P在橢圓上，△PF₁F₂的面積最大值為12，
∴當(dāng)點(diǎn)P落在短軸的端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積S=

1

2

×|F₁F₂|×b=2
得b=2，所以

m

=2，m=4，
∴a=

5

，
因此，該橢圓的離心率是e=

c

a

=

1

5

=

5

5

故選C．

點(diǎn)評：本題給出橢圓的焦距和焦點(diǎn)三角形面積的最大值，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．