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        1. (本小題滿分14分)

          已知函數(shù)f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函數(shù),在(-∞,-2)上為減函數(shù).

          (1)求f(x)的表達(dá)式;

          (2)若當(dāng)x∈時(shí),不等式f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的值;

          (3)是否存在實(shí)數(shù)b使得關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+b在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,若存在,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

          解  (1)

          ∵f′(x)=

          =, …………………………………………………………2分

          依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù),在(-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時(shí),f(x)有極小值,∴f′(-2)=0.

          代入方程解得a=1,

          故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2. ……………………………………………………4分

          (2)由于f′(x)= ,

          令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2. …………………………………………………5分

          (由于x∈,故x2=-2舍去),

          易證函數(shù)在上單調(diào)遞減,

          在[0,e-1]上單調(diào)遞增,

          且f()=+2,f(e-1)=e2-2>+2, ………………………………………7分

          故當(dāng)x∈時(shí),f(x)max=e2-2,

          因此若使原不等式恒成立只需m>e2-2即可. ………………………………9分

          (3)若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立,

          方程f(x)=x2+x+b

          即為x-b+1-ln(1+x)2=0,

          令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,

          則g′(x)= , ………………………………………………10分

          令g′(x)>0,得x<-1或x>1,

          令g′(x)<0,得-1<x<1,  …………………………………………………11分

          故g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,要使方程f(x)=x2+x+b在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,只需g(x)=0在區(qū)間[0,1]和[1,2]上各有一個(gè)實(shí)根,于是有2-2ln2<b≤3-2ln3, 

          故存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2<b≤3-2ln3時(shí)滿足條件. …………………14分

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
          3
          sin2x+2sin(
          π
          4
          +x)cos(
          π
          4
          +x)

          (I)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
          (II)當(dāng)x∈[0,
          π
          2
          ]  時(shí),求函數(shù)f(x)
          的值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P。(1)試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn),當(dāng)a變化時(shí),求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個(gè)。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷(A) 題型:解答題

          (本小題滿分14分)
          已知=2,點(diǎn)()在函數(shù)的圖像上,其中=.
          (1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
          (2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
          (3)記,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,并證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

           (本小題滿分14分)

          某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過去20天的銷售價(jià)格及銷售量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價(jià)格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

          (Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;

          (Ⅱ)求該商品第7天的利潤(rùn);

          (Ⅲ)該商品第幾天的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省高三下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          (本小題滿分14分)已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.

          ⑴ 求,滿足的關(guān)系式;

          ⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

          ⑶ 證明:

           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案