解 (1)
∵f′(x)= 
=
, …………………………………………………………2分
依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù),在(-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時(shí),f(x)有極小值,∴f′(-2)=0.
代入方程解得a=1,
故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2. ……………………………………………………4分
(2)由于f′(x)= 
,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2. …………………………………………………5分
(由于x∈
,故x2=-2舍去),
易證函數(shù)在
上單調(diào)遞減,
在[0,e-1]上單調(diào)遞增,
且f(
)=
+2,f(e-1)=e2-2>
+2, ………………………………………7分
故當(dāng)x∈
時(shí),f(x)max=e2-2,
因此若使原不等式恒成立只需m>e2-2即可. ………………………………9分
(3)若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立,
方程f(x)=x2+x+b
即為x-b+1-ln(1+x)2=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,
則g′(x)= 
, ………………………………………………10分
令g′(x)>0,得x<-1或x>1,
令g′(x)<0,得-1<x<1, …………………………………………………11分
故g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,要使方程f(x)=x2+x+b在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,只需g(x)=0在區(qū)間[0,1]和[1,2]上各有一個(gè)實(shí)根,于是有
2-2ln2<b≤3-2ln3,
故存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2<b≤3-2ln3時(shí)滿足條件. …………………14分