Question

（2013•韶關(guān)一模）如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：側(cè)面PAC⊥平面PBC；
（2）若異面直線AE與PB所成的角為θ，且tanθ=

3 2

2

，求二面角C-AB-E的大小．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得PB⊥AC，利用線面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角即可得出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：（1）證明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC；
∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；
又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC；
又∵AC∈平面PAC，∴面PAC⊥面PBC
（2）以C為原點(diǎn)，CA、CB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=m＞0，
則C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，

m

2

，1），B（0，m，0），P（0，m，2）．
∴

AE

=(-2，

m

2

，1)，

PB

=(0，0，-2)，

AB

=(-2，m，0)．
由tanθ=

3 2

2

，得cosθ=

22

11

，由cosθ=

| AE • PB |

| AE | | PB |

=

2

5+ m2 4 4

=

2

20+m2

，
∴

22

11

=

2

20+m2

，解得m=

2

．
則

AE

=(-2，

2

2

，1)，

AB

=(-2，

2

，0)．
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AE =-2x+ 2 2 y+z=0 n • AB =-2x+ 2 y=0

，取x=1，則y=

2

，z=1，
∴

n

=（1，

2

，1）．
取平面ABC的一個(gè)法向量

k

=（0，0，1），
∴cos＜

k

，

n

＞=

k • n

| k | | n |

=

1

4

=

1

2

．∴＜

k

，

n

＞=60°．
∴二面角C-AB-E的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系求異面直線的夾角、二面角，線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理，需要較強(qiáng)的推理能力、計(jì)算能力和空間想象能力．