Question

【題目】給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)．求證：⊥.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)由題意分別確定a,b,c的值即可求得橢圓方程和準(zhǔn)圓方程；

(2)分類討論直線的斜率存在和直線斜率不存在兩種情況即可證得題中的結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，所以

所以橢圓的方程為， 準(zhǔn)圓的方程為.

（2）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?/span>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)

此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是：(或，

即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時(shí)，直線垂直.

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，

則，消去得到，

即，

，

經(jīng)過化簡(jiǎn)得到：，

因?yàn)?/span>，所以有，

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?/span>與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.