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        1. 【題目】已知x∈(1,+∞),函數(shù)f(x)=ex+2ax(a∈R),函數(shù)g(x)=| ﹣lnx|+lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
          (1)若a=﹣ ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)證明:當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a.

          【答案】
          (1)解:當(dāng)a=﹣ ,f(x)=ex﹣e2x,x∈(1,+∞),

          f′(x)=ex﹣e2,

          當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減;

          當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增


          (2)證明: x∈(1,+∞),f′(x﹣1)=ex1+2a,

          g(x)=| ﹣lnx|+lnx=

          ①1<x<e時(shí),證明當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a,

          即證明:ex1+2a> +a,a>2,

          即a> ﹣ex1,

          只需證明h(x)= ﹣ex1≤2在(1,e)恒成立即可,

          h′(x)=﹣ ﹣ex1<0,h(x)在(1,e)遞減,

          h(x)最大值=h(1)=e﹣1<2,

          ∴a> ﹣ex1

          ∴1<x<e時(shí),當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a;

          ②x≥e時(shí),證明當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a,

          即證明:ex1+2a>2lnx﹣ +a,a>2,

          令m(x)=ex1﹣2lnx+ +a,(a>0,x≥e),

          m′(x)=﹣ +ex1,顯然m′(x)在[e,+∞)遞增,

          而m′(e)= ≈0,m′(3)≈6,

          近似看成m(x)在[e,+∞)遞增,

          ∴m(x)>m(x0)≈m(e)=ee1+a﹣1>ee1+1>0,

          綜上,當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a


          【解析】(1)把a(bǔ)=﹣ 代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由導(dǎo)函數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求出f′(x﹣1)的表達(dá)式以及g(x)的分段函數(shù),通過討論1<x<e和 x≥e的范圍分別證明得答案.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費(fèi)用x萬元滿足P= (其中0≤x≤a,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本6(P+ )萬元(不含促銷費(fèi)用),產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為(4+ )元/件.
          (1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù);
          (2)促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),該公司的利潤最大?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)=x2axbg(x)=ex(cxd),若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

          (1)求ab,c,d的值;

          (2)若x≥-2時(shí),恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,斜率為k的直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),若線段MN的垂直平分線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a(a>0),n=|MF|+|NF|,則2a﹣n等于(
          A.2
          B.3
          C.4
          D.5

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】設(shè)f(x)=(log2x)2﹣2alog2x+b(x>0).當(dāng)x= 時(shí),f(x)有最小值﹣1.
          (1)求a與b的值;
          (2)求滿足f(x)<0的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】設(shè)為彼此不重合的三個(gè)平面,為直線,給出下列結(jié)論:

          ①若 ,則 ②若,且

          ③若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則

          ④若內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等,則

          上面結(jié)論中,正確的序號為_______.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】省環(huán)保廳對、、三個(gè)城市同時(shí)進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測,測得三個(gè)城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個(gè),三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)如下表所示:

          優(yōu)(個(gè))

          28

          良(個(gè))

          32

          30

          已知在這180個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè),恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.

          (1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個(gè)數(shù)據(jù)中抽取30個(gè)進(jìn)行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù);

          (2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】若定義在R上的函數(shù)對任意的、,都有成立,且當(dāng)時(shí),.

          (1)求證:R上的增函數(shù);

          (2)若,解不等式

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在△ABC中,AB=3,AC=5,cosA= ,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi),且 =﹣4,則| + +2 |的最大值是

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          同步練習(xí)冊答案