Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的長軸的一個端點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率是.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) .(2) 或.

【解析】試題分析：（1）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得橢圓的a，由離心率公式可得c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得斜率，進(jìn)而得到直線方程．

解析：

（1）由題知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，

又，故，

故橢圓的方程為，即.

（2）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將其代入，

消去，整理得.

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， .

則

由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，得，

解得，符合（*）式.

所以直線的方程為或.