Question

【題目】已知（，是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）曲線在、處的切線平行，線段的中點為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是，.（2）見解析

【解析】

（1）先求導，再根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系即可求出單調(diào)區(qū)間，

（2）由題意可得，即，再根據(jù)基本不等式可得．即可證明，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，

設，，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值即可證明

解：（1）由函數(shù)得，，且.

∵，∴.

由不等式得，由不等式得，或.

所以的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是，.

（2）因曲線在、處的切線平行，

所以，即，

∴，

∴，即.

∵，即

∴.∴.

由（1）知，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間遞減，且.

所以，當時，.

∴.

設，當時，.

令，∴，即，

∴，即，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴.

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當時，.

所以，.