Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a,PB=PD=a,點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)證明PA⊥平面ABCD；

(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小；

(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論.

Answer 1

思路解析：本小題主要考查了棱錐、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，二面角及二面角的平面角、直線與平面平行的判定和性質(zhì)，同時考查了利用空間向量解決立體幾何問題的轉(zhuǎn)換能力、一定的計算能力以及邏輯推理能力.

    第(3)問在設(shè)問上有一定的開放性，這對空間觀念的要求，對空間圖形轉(zhuǎn)換要求，在水平層次上就有較大的提高，切入點(diǎn)是從特殊點(diǎn)開始進(jìn)行探究.

    此題可用空間向量法解決，關(guān)鍵是能合理地構(gòu)建空間坐標(biāo)系.

    總之，本題在解決方法上利用向量手段解決幾何問題，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.同時，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用為考生創(chuàng)造了幾何證明的新思路，體現(xiàn)了解決問題策略的多樣化.另外，本題通過開放性問題的設(shè)計，給學(xué)生留出了較大的思維空間，為學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題建立了一個平臺.

(1)證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a.

在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²,知PA⊥AB.同理，PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.

(2)解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結(jié)EH.

則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角.

又PE∶ED=2∶1，所以EG=a,AG=a,EH=AGsin60°=a.

從而tanθ==,θ=30°.

(3)證明：當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時，BF∥平面AEC，證明如下：

取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM∥CE.          ①

由EM=PE=ED,知E是MD的中點(diǎn).

連結(jié)BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，則O為BD的中點(diǎn).所以BM∥OE.   ②

由①②知，平面BFM∥平面AEC.