Question

【題目】已知數(shù)列滿足，其中， .

（1）求， ， ，并猜想的表達(dá)式（不必寫出證明過(guò)程）；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： .

（B）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足， .

（1）求， ， ， ，并猜想的表達(dá)式（不必寫出證明過(guò)程）；

（2）設(shè)， ，求的最大值.

Answer 1

【答案】（A）（1）詳見(jiàn)解析;（2）詳見(jiàn)解析. （B）（1）詳見(jiàn)解析;（2）.

【解析】試題分析:（A）（1）利用的遞推關(guān)系得到，從而求得，由此猜想.（2）將的表達(dá)式代入，求得，用裂項(xiàng)求和法求得前項(xiàng)和.（B）利用，和的遞推關(guān)系，可求得的值，由此猜想.（2）利用，可求得的通項(xiàng)公式，代入并化簡(jiǎn)，利用基本不等式可求得其最大值.

試題解析：

（A）解（1）由題意， ， ， ，

則， ， ，

猜想得： .

（2）由（1）得，

則

.

（B）解（1），

由，得，

同理可得， ，

猜想： .

（2）由（1），時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， 滿足止式，

所以，

則， ，

設(shè)，則有在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

因?yàn)?/span>，且，

所以當(dāng)或時(shí)， 有最大值.