Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) ，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過(guò)焦點(diǎn)作 軸的垂線交橢圓上半部分于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的弦，設(shè)弦 所在的直線分別交軸于、兩點(diǎn)，若為等腰三角形時(shí)，問(wèn)直線的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線斜率為定值，該定值為.

【解析】

（1）根據(jù)題意，分析可得的值，進(jìn)而分析可得，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得的值，代入橢圓的方程即可得答案；

（2）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，設(shè)，，將直線的方程與橢圓聯(lián)立，分析可得，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得答案．

（1）由題意可知橢圓的半焦距，由兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形得 ，又，解得 ，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）易知.因?yàn)橹本�的傾斜角互補(bǔ)，所以直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)．

可設(shè)直線的方程為，代入，消去得 ．

設(shè)， ，

所以，可得，，

又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，

所以在上式中以代替，可得，，

所以直線的斜率，

即直線斜率為定值，該定值為．