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        1. (理科)已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,t∈R.
          (1)當t≠0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)證明:對任意t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
          分析:(1)由f'(x)=12x2+6tx-6t2,令f'(x)=0,得x1=-t或x2=
          t
          2
          .分類討論:當t>0時,f'(x)>0的解集為(-∞,-t)∪(
          t
          2
          ,+∞)
          ;當t<0時,f'(x)<0的解集為(
          t
          2
          ,-t)
          ,故可求f(x)的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間;(2)由(1)可知,當t>0時,f(x)在(0,
          t
          2
          )
          內(nèi)遞減,(
          t
          2
          ,+∞)
          內(nèi)單調(diào)遞增.進而分類討論:當
          t
          2
          ≥1
          ,即t≥2時,f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增;當0<
          t
          2
          <1,即0<t<2時,f(x)在(0,
          t
          2
          )
          內(nèi)遞減,在(
          t
          2
          ,1)
          內(nèi)單調(diào)遞增.利用零點存在定理可證對任意t∈(0,2),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
          解答:(1)解:f'(x)=12x2+6tx-6t2,令f'(x)=0,得x1=-t或x2=
          t
          2

          1°當t>0時,f'(x)>0的解集為(-∞,-t)∪(
          t
          2
          ,+∞)

          ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-t),(
          t
          2
          ,+∞)
          ,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-t,
          t
          2
          )

          2°當t<0時,f'(x)<0的解集為(
          t
          2
          ,-t)

          ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,
          t
          2
          ),(-t,+∞)
          ,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(
          t
          2
          ,-t)

          (2)證明:由(1)可知,當t>0時,f(x)在(0,
          t
          2
          )
          內(nèi)遞減,(
          t
          2
          ,+∞)
          內(nèi)單調(diào)遞增.
          1°當
          t
          2
          ≥1
          ,即t≥2時,f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增.
          f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3<0
          ∴f(x)在(0,1)內(nèi)有零點.
          2°當0<
          t
          2
          <1,即0<t<2時,f(x)在(0,
          t
          2
          )
          內(nèi)遞減,在(
          t
          2
          ,1)
          內(nèi)單調(diào)遞增.
          t∈(0,1],f(
          t
          2
          )=-
          7
          4
          t3+t-1≤-
          7
          4
          t3
          <0,f(1)=-6x2+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t>0
          ∴f(x)在(
          t
          2
          ,1)
          內(nèi)存在零點.
          t∈(1,2),f(
          t
          2
          )=-
          7
          4
          t3+t-1
          <0,f(0)=t-1>0
          ∴f(x)在(0,
          t
          2
          )
          內(nèi)存在零點.
          ∴對任意t∈(0,2),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
          點評:本題以函數(shù)為載體,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)的零點,正確分類是解題的關鍵.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (理科)已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
          (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,對任意的t∈[1,2],若函數(shù)g(x)=x3+x2[f/(x)+
          m
          2
          ]
          在區(qū)間(t,3)上有最值,求實數(shù)m取值范圍;
          (3)求證:ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*
          (文科) 已知函數(shù)f(x)=ax3+
          1
          2
          x2-2x+c

          (1)若x=-1是f(x)的極值點且f(x)的圖象過原點,求f(x)的極值;
          (2)若g(x)=
          1
          2
          bx2-x+d
          ,在(1)的條件下,是否存在實數(shù)b,使得函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恒有含x=-1的三個不同交點?若存在,求出實數(shù)b的取值范圍;否則說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (理科)已知函數(shù)f(x)=3-4asinxcosx+4cos2x-4cos4x.若函數(shù)f(x)的最小值為1,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (理科)已知函數(shù)f(x)=xlnx.
          (1)若存在x∈[
          1
          e
          ,e]
          ,使不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立,求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)設0<a<b,證明:f(a)+f(b)-2f(
          a+b
          2
          )>0

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (理科)已知函數(shù)f(x)=
          (3-a)x-3,(x≤7)
          ax-6,(x>7)
          若x∈Z時,函數(shù)f(x)為遞增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為
          (2,3)
          (2,3)

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•甘肅一模)(理科)已知函數(shù)f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).
          (1)若存在x0∈[0,1]使不等式f(x0)-m≤0能成立,求實數(shù)m的最小值;
          (2)若關于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有兩個相異實根,求實數(shù)a的取值范圍.

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          同步練習冊答案