Question

對于實數a和b，定義運算“*”：a*b=

-a2+2ab-1，a≤b b2-ab，a＞b.

設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，則x₁•x₂•x₃的取值范圍是（　　）

• A、(-

  1

  32

  ，0)
• B、(-

  1

  16

  ，0)
• C、(0，

  1

  32

  )
• D、(0，

  1

  16

  )

Answer 1

分析：由新定義，可以求出函數的解析式，進而求出x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根時，實數m的取值范圍，及三個實根之間的關系，進而求出x₁•x₂•x₃的取值范圍．

解答：解：由2x-1≤x-1，得x≤0，此時f（x）=（2x-1）*（x-1）=-（2x-1）²+2（2x-1）（x-1）-1=-2x，
由2x-1＞x-1，得x＞0，此時f（x）=（2x-1）*（x-1）=（x-1）²-（2x-1）（x-1）=-x²+x，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=

-2x，x≤0 -x2+x，x＞0

，
作出函數的圖象可得，
要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，不妨設x₁＜x₂＜x₃，
則0＜x₂＜

1

2

＜x₃＜1，且x₂和x₃，關于x=

1

2

對稱，
∴x₂+x₃=2×

1

2

=1．則x₂+x₃≥2

x2x3

，0＜x₂x₃＜

1

4

，等號取不到．
當-2x=

1

4

時，解得x=-

1

8

，
∴-

1

8

＜x₁＜0，
∵0＜x₂x₃≤

1

4

，
∴-

1

32

＜x₁•x₂•x₃＜0，
即x₁•x₂•x₃的取值范圍是(-

1

32

，0)，
故選：A．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，根據已知新定義，求出函數的解析式，并分析出函數圖象是解答的關鍵．