Question

下列命題中：
①函數(shù)f(x)=x+

2

x

(x∈(0，1))的最小值是2

2

；
②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時(shí)，f′（x）＞g′（x）；
③如果y=f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x₀）=0是函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取到極值的必要不充分條件；
④已知存在實(shí)數(shù)x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2．
其中正確的命題是

②③

．

Answer 1

分析：①利用基本不等式判斷．②利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)判斷．③利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．④利用絕對(duì)值的幾何意義判斷．

解答：解：①因?yàn)?span id="vvazx1t" class="MathJye">f(x)=x+

2

x

≥2

x? 2 x

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

x

即x2=2，x=

2

取等號(hào)，但

2

∉(0，1)，所以f（x）的最小值不是2

2

，所以①錯(cuò)誤．
②由題意知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，g（x）為增函數(shù)，則當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)所以f′（x）＞0，g（x）為減函數(shù)，所以g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x）成立，所以②正確．
③對(duì)應(yīng)可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），若y=f（x）在x=x₀處取到極值，則必有f′（x₀）=0．但當(dāng)f′（x₀）=0，則函數(shù)在x=x₀處不一定取到極值，比如函數(shù)f（x）=x³單調(diào)遞增，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=2x²，當(dāng)x=0時(shí)，f′（x₀）=0，所以f′（x₀）=0是函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取到極值的必要不充分條件，所以③正確．
④因?yàn)楦鶕?jù)絕對(duì)值的幾何意義得|x+1|-|x-1|≤2，所以要使存在實(shí)數(shù)x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，則a≤2，所以④錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題的真假判斷，牽扯的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．要求熟練掌握相關(guān)的知識(shí)．