(本小題滿分12分)
已知三棱柱

的側(cè)棱垂直于底面,

,

,

,

,

分別是

,


的中點.
(1)證明:

;
(2)證明:

平面

;
(3)求二面角

的余弦值.

解法一:


(Ⅰ)證明:因為


平面

,
所以

是

在平面

內(nèi)的射影,… 2 分
由條件可知



,
所以

. ………………… 4 分
(Ⅱ)證明:設

的中點為

,
連接

,

.
因為

,

分別是

,

的中點,
所以




.
又

=


,



,
所以



.
所以四邊形

是平行四邊形.
所以



. …………………6 分
因為


平面

,


平面

,
所以

平面

. …………… 8 分
(Ⅲ)如圖,設

的中點為


,連接

,
所以



.
因為


底面

,
所以


底面

.
在平面

內(nèi),過點

做



,垂足為

.
連接

,則



.
所以


是二面角

的平面角. ………………… 10 分
因為

=

=2,
由

∽

,得

=

.
所以

=

=

.
所以

=

=

.
二面角

的余弦值是

. ………………… 12 分
解法二:
依條件可知

,

,

兩兩垂直.
如圖,以點

為原點建立空間直角坐標系

.
根據(jù)條件容易求出如下各點坐標:

,

,

,

,

,

,

,

.
(Ⅰ)證明:因為

,

,
所以


. ………………… 2

分
所以

.
即

. ………………… 4 分
(Ⅱ)證明:因為

,

是平面

的一個法向量,
且


,所以

. ………6 分
又


平面

,
所以

平面

. ………………… 8 分
(Ⅲ)設

是平面

的法向量,
因為

,

,
由

得

解得平面

的一個法向量

.
由已知,平面

的一個法向量為

. ………………… 10 分
設二面角

的大小為

, 則

=

=

.
二面角

的余弦值是

. ………………… 12 分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
一個體積為

的正方體的頂點都在球面上,則球的體積是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
正四棱錐的側(cè)棱長為2

,側(cè)棱與底面所成角為600,則棱錐的體積為( )
A 3 B 6 C 9 D 18
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,直四棱柱

中,底面

是

的菱形,

,

,點

在棱

上,點

是棱

的中點.

(1)若

是

的中點,求證:

;
(2)求出

的長度,使得

為直二面角.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,
∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點,PA=2AB=2.
(1)求證:PC⊥

;
(2)求證:CE∥平面PAB;
(3)求三棱錐P-ACE的體積V.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
((本小題滿分14分)如圖,正方體

中,棱長為

(1)求直線

與

所成的角;
(2)求直線

與平面

所成角的正切值;
(3)求證:平面


平面

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題共14分) 已知四棱錐

的底面為直角梯形,

,

底面

,且

,

,

是

的中點。
(Ⅰ)證明:面

面

;
(Ⅱ)求

與

所成角的余弦值;
(Ⅲ)求面

與面

所成二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,四棱錐

中,

底面

,

,

,

,

,

是

的中點.
(1)求證:

;
(2)求證:

面

;
(3)求二面角

的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)
正△

的邊長為4,

是

邊上的高,

分別是

和

邊的中點,現(xiàn)將△

沿

翻折成直二面角

.


(1)試判斷直線

與平面

的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求二面角

的余弦值;
(3)在線段

上是否存在一點

,使

?證明你的結(jié)論.
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