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        1. (本小題滿分12分)
          已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,,,,分別是,的中點.
          (1)證明:;
          (2)證明:平面
          (3)求二面角的余弦值.
             解法一:


          (Ⅰ)證明:因為平面,
          所以在平面內(nèi)的射影,… 2 分
          由條件可知,
          所以. ………………… 4 分
          (Ⅱ)證明:設 的中點為
          連接,
          因為,分別是的中點,
          所以
          =,,
          所以
          所以四邊形是平行四邊形.
          所以.    …………………6 分
          因為平面,平面,
          所以平面. …………… 8 分
          (Ⅲ)如圖,設的中點為,連接
          所以
          因為底面,
          所以底面
          在平面內(nèi),過點,垂足為
          連接,則
          所以是二面角的平面角.         ………………… 10 分
          因為==2,
          ,得=
          所以==
          所以==
          二面角的余弦值是.              ………………… 12 分
          解法二:
          依條件可知,,兩兩垂直.
          如圖,以點為原點建立空間直角坐標系
          根據(jù)條件容易求出如下各點坐標:
          ,,
          ,,,
          ,
          (Ⅰ)證明:因為,
          ,
          所以.             ………………… 2
          所以
          .                                 ………………… 4 分
          (Ⅱ)證明:因為,是平面的一個法向量,
          ,所以.          ………6 分
          平面,
          所以平面.                         ………………… 8 分
          (Ⅲ)設是平面的法向量,
          因為,
          解得平面的一個法向量
          由已知,平面的一個法向量為.    ………………… 10 分
          設二面角的大小為, 則==
          二面角的余弦值是.                  ………………… 12 分
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