Question

 

設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=x2+a|lnx－1|.

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在x=1出的切線方程；

（II）當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，

令x=1得f(1)=2，f ′(1)=1，所以切點(diǎn)為（1，2），切線的斜率為1，

所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為：x－y+1=0. …………4分

（Ⅱ）①當(dāng)x≥e時(shí)，

a>0，恒成立. f(x)在[e，+∞)上增函數(shù).

故當(dāng)x=e時(shí)，ymin=f(e)=e2

②當(dāng)1≤x<e時(shí)，

（�。┊�(dāng)，即0<a≤2時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[1，e）上為增函數(shù).故當(dāng)x=1時(shí)，ymin=1+a，且此時(shí)f(1)<f(e).

（ⅱ）當(dāng)1<<e，即2<a<2e2時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在時(shí)為正數(shù).所以f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)

（ⅲ）當(dāng)≥e；即a≥2e2時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，故當(dāng)x=e時(shí)，ymin=f(e)=e2.

綜上所述，當(dāng)a≥2e2時(shí)，f(x)在x≥e時(shí)和1≤x≤e時(shí)的最小值都是e2.所以此時(shí)f(x)的最小值為f(e)= e2；

當(dāng)2<a<2e2時(shí)，f(x)在x≥e的最小值為f(e)= e2，f(x)在1≤x≤e的最小值為，而，所以此時(shí)f(x)的最小值為.

當(dāng)0<a≤2時(shí)，在x≥e時(shí)最小值為e2，在1≤x<e時(shí)的最小值為f(1)=1+a，而f(1)<f(e)，所以此時(shí)f(x)的最小值為f(1)=1+a

所以函數(shù)y=f(x)的最小值為

 ………………………12分