已知函數(shù),
(
為常數(shù))
(1)當時
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若函數(shù)有對稱中心為A(1,0),求證:函數(shù)
的切線
在切點處穿過
圖象的充要條件是
恰為函數(shù)在點A處的切線.(直線穿過曲線是指:直線與曲線有交點,且在交點左右附近曲線在直線異側)
(1)實數(shù)的取值范圍是:
;(2)詳見試題解析.
解析試題分析:(1)由已知條件,構造函數(shù),當
時
恒成立
恒成立
.利用導數(shù)討論函數(shù)
的單調(diào)性及最值,即可求得實數(shù)
的取值范圍;(2)由已知,函數(shù)
關于A(1,0)對稱,則
是奇函數(shù),由此可求出
的值,進而得
的解析式,利用導數(shù)的幾何意義,求出函數(shù)在點A處的切線,構造函數(shù)
,
,利用導數(shù)分別研究函數(shù)
,
的單調(diào)性,結合直線穿過曲線定義,證明充分性和必要性.
試題解析:(1)設,
.令:
,得
或
.
所以:當,即
時,
在
是增函數(shù),
最小值為
,滿足;當
,即
時,
在區(qū)間
為減函數(shù),在區(qū)間
為增函數(shù).所以
最小值
,故不合題意.所以實數(shù)
的取值范圍是:
6分
(2)因為關于A(1,0)對稱,則
是奇函數(shù),所以
,所以
,則
.若
為A點處的切線則其方程為:
,令
,
,所以
為增函數(shù),而
所以直線
穿過函數(shù)
的圖象. 9分
若是函數(shù)
圖象在
的切線,則
方程:
,設
,則
,令
得:
,當
時:
,
,從而
處取得極大值,而
,則當
時
,所以
圖象在直線
的同側,所在
不能在
穿過函數(shù)
圖象,所以
不合題意,同理可證
也不合題意.所以
(前面已證)所以
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
函數(shù).
(1)若,函數(shù)
在區(qū)間
上是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(2)設,若對任意
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設,每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費用為億元,其中用于風景區(qū)改造為
億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案,該方案要求同時具備下列三個條件:①每年用于風景區(qū)改造費用
隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用
增加而增加;②每年改造生態(tài)環(huán)境總費用至少
億元,至多
億元;③每年用于風景區(qū)改造費用
不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用
的15%,但不得高于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用
的25%.
若,
,請你分析能否采用函數(shù)模型y=
作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),函數(shù)
.
(I)試求f(x)的單調(diào)區(qū)間。
(II)若f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),試求實數(shù)a的取值范圍:
(III)設數(shù)列是公差為1.首項為l的等差數(shù)列,數(shù)列
的前n項和為
,求證:當
時,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當時,求
的極值;(2)當
時,討論
的單調(diào)性;
(3)若對任意的恒有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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