Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，則此雙曲線的離心率e的最大值為

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)P點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義可知丨PF₁丨=ex+a，丨PF₂丨=ex-a，根據(jù)|PF₁|=4|PF₂|求得e和a，x的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定e的范圍，求得e的最小值．

解答：解：設(shè)P（x，y），由焦半徑得丨PF₁丨=ex+a，丨PF₂丨=ex-a，
∴ex+a=4（ex-a），化簡得e=

5a

3x

，
∵p在雙曲線的右支上，
∴x≥a，所以e≤

5

3

，即e的最大值是

5

3

故答案為：

5

3

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了雙曲線的定義，靈活利用了焦半徑與離心率之間的關(guān)系．