Question

【題目】某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示.圓的圓心與矩形對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（為上切點），與左右兩邊相交（，為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1，且，設，透光區(qū)域的面積為.

（1）求關于的函數(shù)關系式，并求出定義域；

（2）根據(jù)設計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當該比值最大時，求邊的長度.

Answer 1

【答案】（1）關于的函數(shù)關系式為，定義域為；

（2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時，的長度為1．

【解析】試題分析：

(1) 過點作于點，可得關于的函數(shù)關系式為，定義域為；

(2)由原函數(shù)與導函數(shù)的關系可得當時，有最大值，此時

試題解析：

解:(1) 過點作于點，則，

所以，

．

所以

，

因為，所以，所以定義域為．

（2）矩形窗面的面積為．

則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為．

設，．

則

，

因為，所以，所以，故，

所以函數(shù)在上單調減．

所以當時，有最大值，此時

答：（1）關于的函數(shù)關系式為，定義域為；

（2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時，的長度為1．