Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，證明：當(dāng)時，；

（2）若在只有一個零點，求．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式，(2)研究零點，等價研究的零點，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當(dāng)時，，沒有零點；當(dāng)時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.

詳解：（1）當(dāng)時，等價于．

設(shè)函數(shù)，則．

當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．

而，故當(dāng)時，，即．

（2）設(shè)函數(shù)．

在只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點．

（i）當(dāng)時，，沒有零點；

（ii）當(dāng)時，．

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故是在的最小值．

①若，即，在沒有零點；

②若，即，在只有一個零點；

③若，即，由于，所以在有一個零點，

由（1）知，當(dāng)時，，所以．

故在有一個零點，因此在有兩個零點．

綜上，在只有一個零點時，．