Question

【題目】在如圖所示的六面體中,面是邊長為2的正方形,面是直角梯形,，.

(1)求證:平面；

(2)若二面角為60°,求直線和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）連接相交于點(diǎn),取的中點(diǎn)為,連接，易證四邊形是平行四邊形，從而可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,計(jì)算法向量，根據(jù)公式即可求出.

試題解析：

(1):連接相交于點(diǎn),取的中點(diǎn)為,連接.

是正方形,是的中點(diǎn),,

又因?yàn)?/span>,所以且,

所以四邊形是平行四邊形,

,又因?yàn)?/span>平面平面

平面

(2)是正方形,是直角梯形,,

,平面,同理可得平面.

又平面,所以平面平面,

又因?yàn)槎�面�?/span>為60°，

所以,由余弦定理得,

所以，因?yàn)?/span>半面，

,所以平面,

以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則,

所以,

設(shè)平面的一個法向量為,

則即令，則，

所以

設(shè)直線和平面所成角為，

則